辽宁省普通高中2024~2025学年高一下册5月期中考试数学模拟试题（2）【附解析】

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高一数学
命题范围：【（人教B版）必修三第八九章、必修四第九章】三角函数、向量的数量积与三角恒等变换、解三角形
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
3．将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍．可得到的图像，则（ ）
A．B．C．D．
4．在平行四边形中，点为对角线上靠近A点的三等分点，连结并延长交于，则（ ）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史．如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（ ）

A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为
B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米
C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等
D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米
7．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在，角的对边分别为，且的面积满足，为的外心．若，下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则
B．设，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
C．设，且∥，则
D．若是内的一点，满足，则
11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一空2分，第二空3分．
12．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ．
13．已知是第三象限角，，则 ．
14．在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为．若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，求．
16．（本小题满分15分）
在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长．
17．（本小题满分15分）
的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）求函数的解析式和最小正周期；
（2）若，求的值；
（3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题． 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小． 意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于 时，使得 的点即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题：
（1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角所对的边分别为 ，且，点 为的费马点．
（ⅰ）若 ，求 ;
（ⅱ）若 ，求的最小值．