山东省青岛市胶州市实验中学2024~2025学年高一下册5月阶段性检测数学试卷【附解析】

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一、单选题
1. 已知，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
2. 已知直线，，和平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，则
D 若，，则
3. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（ ）
A. 点P不在直线AC上B. 点P必在直线BD上
C. 点P必在平面ABC内D. 点P必在平面ABC外
4. 在中，，点E在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，则在方向的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. ，B. 函数图象关于直线对称
C. 函数的图象关于对称D. 函数在上单调递增
8. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若互为共轭复数，则为实数
B. 对于复数，若，则
C. 若是关于x二次方程的根，则也是该方程的根
D. 复数z满足，则的最大值为
10. 下列命题正确的（ ）
A. 已知向量，若，则等于
B. △ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为．
C. 在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时，
D. 在中，，，设是的内心，若，则
11. 如图，棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存点，使平面平面
C. 存在点，使直线平面
D. 平面截正方体所得截面的最大面积为
二、填空题
12. 把函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是 ，则函数的解析式为_________．
13. 在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.
14. 若三棱柱-的底面是以为斜边的直角三角形，平面，则该三棱柱的外接球的体积为__________.
三、解答题
15. 如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
（1）求平面四边形的面积及周长；
（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
16. 如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求证：平面．
17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积；
（3）若，求的最大值.
18. 如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且．
（1）证明：四点共面．
（2）证明：平面．
（3）若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 在中，，，对应的边分别为，，，
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；