江西省崇义中学2024~2025学年高二下册月考3数学试卷【附解析】

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第I卷（选择题）
一、单选题
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】解：，
故选：C．
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则，即充分性成立；
若，例如，可得，满足题意，
但，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 25B. 27C. 30D. 35
【答案】A
【解析】
【分析】借助等差数列及其前项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得.
【详解】设等差数列的公差为，则有，
又，则，解得，
则.
故选：A.
4. 函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A. 0B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案．
【详解】由题意得，因为在处有极小值，
所以，解得，
所以，
令，解得或，
故函数在和上为增函数，
令，解得，
故函数在上为减函数，
所以在处有极小值，符合题意，
所以，
故选：A.
5. 若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再结合指数函数、二次函数单调性求出递增区间.
【详解】在函数且中，令，得，
因此函数的图象恒过定点，依题意，2，函数定义域为R，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上递增，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A
6. 已知非负实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为非负实数满足，
显然，则，所以，
则
，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
7. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定建立的不等关系，以及的不等关系，整理化简得答案.
【详解】令，则，
因为当时，有恒成立，
所以当时，，
即在上单调递减，
所以，即，即，A 错误，B正确，
，即，即，CD错误.
故选：B.
8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解.
【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，由，故，即（负值舍去），
故，故，
则
，
故.
故选：A.
二、多选题
9. 下列各式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导数公式逐一求导验证可得结果．
【详解】因为；；．
故A正确，BCD错误.
故选：A
10. 数列的前n项和为，已知，则（ ）
A. B. 是递减数列
C. 当时，D. 当或4时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据的关系求出数列的分段表达式，然后结合数列的性质即可逐一判断各个选项求解.
【详解】，时，
，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，显然，当时，当且仅当，故C正确；
对于D，由于，所以当或4时，取得最大值，故D正确
故选：ACD.
11. 定义在上函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个定义域为的函数，其中能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由可分析得当时，，即函数单调递增，逐一检验即可.
【详解】由题可得：当时，恒有，
令，故：，又定义在上，
故，即在单调递增，
A项：在单调递减，故不正确；
B项：在单调递增，故正确；
C项：在递减，在递增，故不正确；
D项：在单调递增，故正确；
故选：BD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
12. 若，则实数a的取值范围是______.（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质计算即可.
【详解】由题得，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
13. 已知函数是的导函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求导，再把代入导函数中，可求得，得到的解析式，最后把代入中求得.
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得，
则，所以.
故答案为：.
14. 将正方形分割成个全等的小正方形（图1、图2分别给出了的情形），在每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列.若顶点处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数和为，则有，______，…，______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】先根据题意可确定正方形各顶点对应数依次成等差数列，每一行对应数之和仍成等差数列，利用等差数列的性质及求和公式计算即可.
【详解】不妨设为第横行的数之和，为最多行数，点处的四个数分别为，
根据题意可知成等差数列，
则对于第一空：时，，，
所以；
对于第二空：，，
所以.
故答案为：4；.
【点睛】思路点睛：根据题意确定每一行数成等差数列，从而每一行数的和仍成等差数列，根据等差数列求和公式及其性质计算即可.
四、解答题
15. （1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质以及换底公式化简可得所求代数式的值；
（2）利用指数的运算性质、立方差公式可化简所求代数式.
【详解】解：（1）原式.
（2）原式.
16. 已知首项不为1的正项数列，其前n项和为，且点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由与的关系求得数列为首项为2公差为3的等差数列，然后利用等差数列通项公式求解即可；
（2）先求出，然后利用裂项求和法求解即可.
【小问1详解】
由题意得，所以，
故当时，，两式相减得，，
整理化简得，，因为，所以，
因为，解得或（舍去），
故数列为首项为2，公差为3的等差数列，所以；
【小问2详解】
由（1）得，所以，
所以数列的前n项和.
17. 已知函数，且，求：
（1）的值；
（2）曲线在点处的切线方程；
（3）函数在区间上的最大值．
【答案】（1）1 （2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）先求导，利用求出参数a；
（2）根据导数的几何意义可得切线斜率，点斜式求出切线方程即可；
（3）先求导，然后根据导数研究函数的单调性，即可求最值.
【小问1详解】
,
，解得：
【小问2详解】
由（1）知，所以,
曲线在点处的斜率为，
所以切线方程，即，
即.
【小问3详解】
由（1）可知：，，
令，解得，
故当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
所以区间内，当或时可能取最大值，
又，
所以最大值.
18. 已知是自然对数的底数，.
（1）若是偶函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数；
（3）在（1）（2）的条件下解不等式
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值.
（2）利用函数单调性定义证明函数在上是增函数.
（3）由（1）（2）的结论，脱去法则“f”，再解不等式即得答案.
【小问1详解】
由是偶函数，得，即，
整理得，而不恒为0，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，任取，
则，
由，得，即，则，
因此，所以函数在上是增函数.
【小问3详解】
由（1）知，不等式化为：，
由（2）知，，解得或，
所以原不等式的解集为.
19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；
（2）若集合具有“包容”性，求的值；
（3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．
【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性
（2）1 （3），，，或．
【解析】
【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；
（2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果；
（3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.
【小问1详解】
（Ⅰ）集合中的，，
所以集合不具有“包容”性．
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．
【小问2详解】
（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则，且，
则，
且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知b无解，
故．
综上，．
【小问3详解】
（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，，，
根据题意，
且，
从而或．
①当时，，
并且由，得，由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
②当时，同理可得．
综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个，
分别是，，，
或．
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成.