湖北省宜昌市部分省级示范高中2025学年高一下册4月期中考试数学试题

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8.【答案】B
【解析】，，
，在上无零点，且，
最小正周期，且，
，且，，当时，，
当时，，综上，的取值范围为
11.【答案】BCD
【解析】解：取，则，，因此，故A不正确；
B.设，则，，，，
则，因此，故B正确；
C.设，当时，，
此时，当时，，
此时，综合可得，C正确；
D.不等式，可得：，或，
，或，因此不等式的解集为或，故D正确．
15．（13分）已知向量，满足，，且与的夹角为
1若，求实数的值;
2求与的夹角的余弦值.
【答案】解：1因为，所以，
即，即，
所以，解得； （6分）
2因为，
，
所以，
即与的夹角的余弦值为 （13分）
16．（15分）（1）已知均为锐角且，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1）


（7分）
即又
即 （15分）
17（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求角A；
若，BC边上的中线，求的面积及BC边上的高．
【答案】解：由已知得
(7分）
因为，两边同时平方得，
即，解得负值舍去，的面积
由余弦定理得，所以
设BC边上的高为，因为的面积，
所以 (15分）
18.（17分）已知，，函数，的最小正周期为
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求的最值及取到最值时x的值；
（3）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围,并求的值.
【答案】解：（1）
，的最小正周期为，
，，，
由，，解得：，，
单调递增区间为 （5分）
令，，可得，即，
由图象可得：当，即时，取得最大值1；
当，即时，取得最小值 （11分）
函数所在上有两个不同的零点，
转化为函数与函数有两个交点，由（2）可知时，函数与函数有两个交点，其横坐标分别为，故得实数m的取值范围是
由题意可知是关于对称轴是对称的，关于对称轴，即
，
即 . （17分）

19.（17分）意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用。在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中a、b为非零实数。
(1)当时，用单调性的定义证明：在上是单调递增函数；
(2)在（1）的条件下，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围.
(3)若为奇函数，函数，，探究是否存在实数a，使的最小值为? 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：当时，，
在任取，则
因为，所以，，则有，，所以，即，所以在0,+∞上单调递增． （4分）
的定义域为R，，为偶函数，
在上单调递增，故上单调递减，
不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
故在上恒成立，
令，而
，故当时，，
，故当时，，
的取值范围为 （12分）
（3）为奇函数，，即，得，，．
令，，由函数在上单调递增，有，
则可化为，．
假设存在实数，使即的最小值为，结合二次函数的性质可知，
当，即时，在上单调递增，，不符合要求；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时；
当，即时，在上单调递减，，
此时，不满足．
综上，当时，的最小值为． （17分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
B
C
C
D
B
ACD
BC
BCD
题号
12
13
14
答案
−4