湖北省宜昌市部分省级示范高中2025学年高一下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式化简运算即可.
【详解】.
故选：A.
2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数单调性求集合B，再结合Venn图运算求解即可.
【详解】因为，且
图中阴影部分表示的集合为.
故选：C.
3. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合中间值，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】依题意，，
因此实数的大小关系是.
故选：B
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】先用余弦定理代换后得到，利用勾股定理，即可判断.
【详解】由余弦定理得：，则，所以，由此知△ABC为直角三角形.
故选：B
5. 下列各式的值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的正切公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，
，A不满足；
对于B选项，，B不满足；
对于C选项，
，C满足；
对于D选项，，D不满足.
故选：C.
6. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：C.
7. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义、复合函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
因为，，故，
所以，函数不是奇函数，A不满足；
对于B选项，对于函数，由可得，解得，
所以，函数的定义域为，
因为，故函数为奇函数，
因为内层函数在上单调递减，
外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足；
对于C选项，函数的定义域为，，
故函数为偶函数，C不满足；
对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
因为，
内层函数为增函数，外层函数在上为增函数，
所以，在定义域上为增函数，D满足.
故选：D.
8. 已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简得出，由计算得出，根据已知条件得出，解出的范围，再对整数赋值可得结果.
【详解】因为，
因为且，则，
因函数在上无零点，故，
所以，，解得，
由，解得，
，当时，可得，当时，可得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若、可以作为基底，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与的夹角为，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项.
【详解】已知向量，，易知、均为非零向量，
对于A选项，若、可以作为基底，则、不共线，可得，解得，所以A对；
对于B选项，，则，解得或，所以B错；
对于C选项，在上的投影向量为，
即，解得，所以C对；
对于D选项，因为与的夹角为，则，
即，整理可得，解得或，所以D对.
故选：ACD.
10. 函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（ ）

A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】求出点的坐标，可得出函数的最小正周期，可判断A选项；求出、的值，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点，
结合图形可知，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，，且函数附近单调递增，
故，所以，
又因为，故，所以，，
因为，所以函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以函数在上单调递增，C对；
对于D选项，函数的图象向右平移后，得到的图象，
则函数为奇函数，D错.
故选：BC.
11. 设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A. ，
B. ，若，则
C. ，
D. 不等式的解集为或
【答案】BCD
【解析】
【分析】
通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D正确与否.
【详解】对于A，，则，故，故A不成立.
对于B，，则，
故，所以，故B成立.
对于C，设，其中，
则，，
若，则，，故；
若，则，，故，故C成立.
对于D，由不等式可得或，
故或，故D正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知函数则______．
【答案】
【解析】
【分析】由函数解析式可得再求出即可.
【详解】因为函数
因为，
，
即，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
13. 在中，分别为的中点，则__________.
【答案】－4
【解析】
【分析】由向量的线性运算得，，然后计算数量积可得．
【详解】由已知，，
．
故答案为：．
14. 记的内角、、所对的边分别为、、，已知，，点在边上，若，，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，结合平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质、余弦定理以及已知条件可求出的值.
【详解】如下图所示：

由题意可知，则，所以，，
所以，，
即①，
由余弦定理可得②，
又因为，联立①②可得，代入②可得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足，且与的夹角为.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案；
（2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案.
小问1详解】
因为，所以，
即，即，
所以，解得.
【小问2详解】
因为，
，
所以，
即与的夹角的余弦值为.
16. （1）已知，均为锐角且，，求的值；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由，利用两角差的正弦公式结合平方关系展开即可求解；
（2）由得，利用二倍角公式即可求解
【详解】（1），
，
则，
.
（2），
即又，
即.
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，边上的中线，求的面积及BC边上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式化简结合两角和正弦公式计算求解；
（2）由题意可得，两边平方化简可求出，从而可求出的面积，再利用三角形面积公式可求出BC边上的高.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以；
【小问2详解】
因为为边上的中线，
所以，两边同时平方得，
因为，，
所以，得，
所以，解得或（舍去），
所以的面积，
由余弦定理得，所以
设BC边上的高为，因为的面积，
所以，得.
18. 已知，，函数，的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求的最值及取到最值时的值；
（3）若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）的取值范围是，
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可得出函数的增区间；
（2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的最大值、最小值及其对应的值；
（3）分析函数在上的单调性，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，利用正弦型函数的对称性可求得的值，即可得出的值.
【小问1详解】
因为，，
所以，，，
，
因为函数的最小正周期为，则，可得，故.
由可得，
因此，函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
令，由可得，即，
故当时，即当时，取得最大值，
当时，即当时，取得最小值.
【小问3详解】
函数所在上有两个不同的零点、，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，，解得，
故实数的取值范围是，
由可得，所以，直线为函数图象的一条对称轴，
因为，所以点、关于直线对称，
所以，因此.
19. 意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数.
（1）利用单调性定义证明：当时，在上单调递增；
（2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证.
（2）利用偶函数的性质及函数的单调性脱去法则“f”，转化成恒成立问题求解.
（3）由奇函数的定义可得，再配方换元，转化为在闭区间上的二次函数最小值为的问题求解.
【小问1详解】
当时，，，
则
，由，得，
则，，于是，即，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
函数的定义域为R，，则为偶函数，
不等式，
函数在上单调递增，则
依题意，不等式对恒成立，
当时，，，
因此对恒成立，
令，而，
则，当时，，
，当时，，于是，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由函数为奇函数，得恒成立，
即恒成立，则，
于是，，
令，，由函数在上单调递增，得，
则函数化为，，
假设存在实数，使即的最小值为，
当，即时，在上单调递增，，不符合要求；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时；
当，即时，在上单调递减，，
解得，不满足，
所以当时，的最小值为.