河南省实验中学2024~2025学年高二下册期中考试数学试卷【附解析】

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（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A. 平均数B. 相关系数C. 决定系数D. 方差
2. 下列运算正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C D.
4. 若，则的值为（ ）
A. 14B. 84C. 34D. 204
5. 已知随机变量X分布规律为（），则（ ）
A. B. C. D.
6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同排法共有（ ）种.
A. 24种B. 36种C. 72种D. 120种
7. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 对于随机事件，若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若函数在区间上存在最小值，则取值范围为
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）
13. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为______．
14. 已知函数的最小值为0，则________．
四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
（1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.
16. 已知函数（）．
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）讨论的单调性．
17. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
18. 设.
（1）求的最小值；
（2）对于，有恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明：当时，.
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11