海南省三亚市第一中学2024~2025学年高二下册期中考试数学试题（B）【附解析】

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数在处有极值，则实数（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由极值的定义得，即可求解，注意检验.
【详解】解：因为，，在处有极值，
所以，所以，解得.
经检验当时，，
当或时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处有极大值，满足题意.
故选：D
2. 的展开式中，常数项等于（ ）
A. B. 15C. D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中的次数为，进而求出常数项.
【详解】二项式的通项为，
即 ，
令，解得.
可得常数项为.
故选：B.
3. 已知是等比数列的前项和，且，，则公比（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据，结合已知条件，直接计算即可.
详解】由题可知，，故，故.
故选：C.
4. 现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解.
【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法，
然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有，
最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法，
根据分步计数原理可知排法种数为，
故选：C.
5. 甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（ ）
A 36种B. 48种C. 54种D. 64种
【答案】C
【解析】
【分析】由排列数计算，根据分步乘法原理，可得答案.
【详解】分三步完成：冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下3人有种可能，
所以5人的名次排列有（种）不同情况，
故选：C.
6. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作切线，过点B作切线，连接，得到直线，根据导数的几何意义以及斜率的定义结合图象即可得出答案.
【详解】
如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，.
又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知，
，，
所以.
故选：B．
7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案.
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选：D.
8. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数在上恒成立，即可结合基本不等式求解.
【详解】由于在上单调递增，所以在上恒成立，故在上恒成立，
由于当且仅当 时取等号，所以 ，
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或者3分，有选错的得0分.
9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差.
【详解】对A，因为随机变量服从两点分布，且，所以，
所以，所以，故A正确；
对B，，故B不正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知二项式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大
C. 展开式各项系数之和是243
D. 展开式中的有理项有4项
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项式系数和为，计算可得，判断A；根据，即可判断B；令，即可判断C；求出展开式的通项，令的幂指数为整数，即可判断D.
【详解】因为知二项式的二项式系数和为，所以，即，故A正确；
因为，所以二项展开式有6项，所以展开式的第三项和第四项的二项式系数均为最大值，故B错误；
令，，所以展开式各项系数之和是243，故C正确；
二项式展开式的通项为，，
所以、、时，为有理项，即展开式中的有理项只有项，故D错误.
故选：AC
11. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. D. 当取得最大值时，
【答案】BC
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得：，
，
即，，且，即B、C正确；
因，故数列是递减数列，故A错误；
因，，即当取得最大值时，，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 数列中，已知，且，则等于______.
【答案】
【解析】
【分析】利用累加即可得到答案.
【详解】因为，所以，
所以

故答案为：50
【点睛】本题考查了累加法求数列中的项的值，属于基础题.
13. 某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有_____种不同的方法.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】先分组再分配，利用排列组合知识解决即可.
【详解】按照1：3的比例，共有种分组方案；
按照2：2的比例，共有种分组方案；
则共有种分配方案
故答案为：
14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据零点将问题转化为有两个交点，构造函数，由导数求解函数的单调性，即可结合图象求解.
【详解】由有两个零点，故有两个实数根，
记，则，
当和时， ，
当时，，
故在单调递减，在单调递增，
作出函数的图象如下：
由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点，
故实数的取值范围
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数函数函数的单调性后，计算即可得其在区间上的最大值与最小值.
【小问1详解】
，，，
则有，化简得，
即的图象在点处的切线方程为；
【小问2详解】
，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，
又，，
故在区间上的最大值和最小值分别为、.
16. 在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求的值；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，求出公差，进而求出通项公式；
（2）根据等比中项的概念列式运算求解；
（3）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
设数列的公差为，由题意得，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
依题意得，则，得.
【小问3详解】
由，得，
则.
17. 某班有7名班干部，其中男生4人，女生3人，从中任选3人参加学校的义务劳动.
（1）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；
（2）设所选3人中女生人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，即可求出，，再利用条件概率的计算公式计算可得；
（2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到的分布列与数学期望；
【小问1详解】
解：设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”
则，，
∴
【小问2详解】
解：依题意的所有可能取值为0，1，2，3
所以，，
，，
∴的分布列为
所以
18. 已知数列的前n项和为，且满足
（1）证明数列为等比数列，并求它的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据递推式可得，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求
【小问1详解】
由题设，则，整理得，
又，
所以是首项为1，公比为3的等比数列，则.
【小问2详解】
由，则，
所以，
所以，
所以.
19. 函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出函数的导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出函数极值；
（2）先根据不等式应用参数分离得出，再构造函数，根据导函数得出函数最大值即可得出参数范围
【小问1详解】
依题意，，定义域为，
，
令得，
当时，，所以函数在上单调递减，；
当时，，所以函数在上单调递增.
故函数有极小值，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
因为，即恒成立，
令，
则.
令，
则，即上单调递减.
又，故当时，，所以函数上单调递增；
当时，所以函数在上单调递减，
所以，
又恒成立，即，
所以的取值范围是.
0
1
2
3