广东省惠州市惠东县2024~2025学年高一下册4月期中学业质量监测数学试题【附解析】

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（2025.04）
试卷共4页，卷面满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接按照向量的运算法则即可得结果.
【详解】．
故选：B.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的乘法运算及模长公式即可求解.
【详解】,
所以，
故选：D
3. 已知向量，，且，那么的值是（ ）
A. B. 12C. 13D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标运算可求的值.
【详解】向量，，所以，
因为，所以，解得.
故选：C.
4. 在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】大边对大角，由余弦定理即可求解.
【详解】∵，∴所对的角C为最大角．
由余弦定理得
故选：B
5. 如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果.
【详解】根据题意，画图如下：
则，，，
故在中，
，
，.
故选：B
【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.
6. 已知向量，向量，若与的夹角为，则自然数（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的坐标公式以及夹角列出的方程，求解即可
【详解】由，可得，
整理可得：，解得或，故自然数.
故选：D.
7. 中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（ ）
A. 10B. 5C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解.
【详解】因为，，，所以，
则，
由正弦定理得，所以.
故选：B.
8. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（ ）
A. 9B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，利用已知条件得到各边的长度和的大小，代入余弦定理求解即可.
【详解】由题可知在中，，则，
不妨设，由知，则，
又因为与全等，所以，
由余弦定理可知，
解得，而，所以，所以，
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列条件能使是（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误；
对于B，能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确；
对于C，等价于是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C正确；
对于D，不存在任何实数使得，即方程组不可能成立，这意味着不能共线，故D错误.
故选：BC.
10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A. 6B. C. D. 8
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角形有唯一解的条件可得满足的等式，从而可求其值.
【详解】如图，当时，以为原点，为半径的圆与射线有且只有一个交点，
故此时三角形有唯一解.
当时，为直角三角形且，此时三角形有唯一解.
当，以为原点，为半径的圆与射线无交点，故此时三角形不存在，
当，以为原点，为半径的圆与射线有两个公共点，
故此时三角形有两解，故舍去.
而，
故选：BD.
11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论.
【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确．
对于B：圆锥侧面积为，所以B选项正确．
对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确．
对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 在中，已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理求解.
【详解】由余弦定理，，
.
故答案为：.
13. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式及表面积求法计算可得.
【详解】因为圆锥的底面半径，母线，
所以该圆锥的表面积为.
故答案为：
14. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，结合正弦定理有，可求，又，即可求出.
【详解】由题意知：若，则，得，而
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了利用正弦定理、二倍角正弦公式、诱导公式求角的正弦值，属于中档题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）求；
（2）求向量的夹角的余弦值；
（3）若与平行，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出，用坐标法求模可得结果；
（2）求出及的模，用坐标法求向量夹角可得结果；
（3）根据向量平行，用坐标法求实数可得结果.
【小问1详解】
因为，所以，
所以
【小问2详解】
因为，，所以，
，，
所以
【小问3详解】
依题意，，
因为与平行，所以，解得．
16. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的周长．
【答案】（1）；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积求出，再利用余弦定理求解即可.
【小问1详解】
在中，由，得，
由正弦定理得，即，
又，即，于是，
由，得，因此，又，
所以．
【小问2详解】
由的面积，得，得，
又，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的周长为．
17. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求几何体的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可；
（2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体的体积.
【小问1详解】
因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm，
所以圆锥底面半径为cm，
所以圆锥的侧面积为
【小问2详解】
由（1）可知，圆锥的体积为：
，
圆柱的体积为：，
所以几何体体积为：.
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用正弦定理边角转化，再结合两角和差的正弦公式计算应用角的范围即可证明；
（2）先应用正弦定理及合比定理，最后应用余弦值域结合二次函数计算求解即可.
【小问1详解】
由得，
由正弦定理得．
，
得，
即．
因为，为三角形内角，
所以，或（舍去），
∴．
小问2详解】
∵，
由正弦定理，得，，
∴．
又∵，∴，
得．
因为锐角三角形，则，且，
则，，
解得，．
∴．
所以周长的取值范围为．
19. 在锐角中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，定值为0，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）先利用同角三角函数的关系将已知等式统一成正弦，然后利用正弦定理将其统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；
（2）方法一：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围；方法二：由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围；方法三：数形结合，过点作，垂足为，作与交于点，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围；
（3）设，在和中分别利用正弦定理表示出，然后代入化简即可.
【小问1详解】
，
，
即，
即，
.
【小问2详解】
[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
又，则，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是.
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知.
因为为锐角三角形，且，
所以，即
又由余弦定理得，所以，即，
所以，故面积的取值范围是.
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点作，垂足为，作与交于点.
由题设及（1）知，因为为锐角三角形，且，
所以点位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是.
【小问3详解】
的面积为3，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.