甘肃省武威市民勤县第四中学2024~2025学年高二下册期中考试数学试题【附解析】

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答案D 【详解】.
2.答案C 【详解】A项，因为，所以a＝(1，－1，3)和b＝(2，4，1)不垂直，故A错误；B项，△ABC为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是∠A，所以无法推出eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，故B错误；C项，因为{a，b，c}为空间的一个基底，设a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝1，,μ＝1，,μ＋λ＝0，))无解，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，故C正确；D项，若a·b＝0即可得出此项错误，故D错误．
3. 答案A 【详解】由已知有：，解得，由已知得，所以.
4, 答案C 【详解】由已知有：当时，，当时，，结合图象可得选C.
答案B 【详解】建立空间直角坐标系，利用公式可得.
答案 A 【详解】 由题意, 且
则 ,
当 时,单调递减; 当 或 时, 单调递增,
在上,单调递增; 当单调递减,
又因为，所以，所以，
在上最大值是.
答案B 【详解】依题意得，建立空间直角坐标系则
设法向量解得
8. 答案B 【详解】由题设可得，
设，则，即在上单调递增，而，
∴，要使，只需恒成立，
令，则：当时，即递减；当时，即递增；
∴，故只需，即. 故选：B
9. 答案ACD 【详解】根据向量的加法、减法法则即可判断.
10. 答案BC 【详解】对于A，题目只给出函数在定义域[－1，5]的4个对应值，不能得到函数是周期函数，故A错误．
对于B，由图象可得函数在[0，2]上小于等于0，所以函数在[0，2]上是减函数，故B正确．
对于C，由于函数在[－1，0]，[0，2]，[2，4]，[4，5]分别单调递增，单调递减，单调递增和单调递减，如右图所示：当时，函数的零点个数为0；
当，时，函数的零点个数为1；当时，
函数的零点个数为2；
当时，若，则函数的零点个数为3，若，则函数的零点个数为4. 故函数的零点个数可能为0，1，2，3，4，故C正确．
对于D，如果，时，此时函数有2个零点，故D错误．故选BC.
答案AB 【详解】对于A，如图 ，取的中点，连接，由△和△为等腰三角形，得，，又，⊂平面，所以⊥平面，又⊂平面，所以，故A正确．
对于B，根据折起前后，可知三线两两垂直，于是可证平面 ⊥平面，故B正确．
对于C，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的＝2，则，(0，0，1)，(1，0，0)，(0，2，0)，故＝(1，0，－1)，＝(－1，2，0)．易知＝(0，2，0)为平面的一个法向量，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\(FD,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－z＝0，,－x＋2y＝0，))令x＝2，则y＝1，z＝2，则n＝(2，1，2)为平面的一个法向量，
|cs〈eq \(PD,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(PD,\s\up6(→))·n|,|\(PD,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(2,2×3)＝eq \f(1,3)，所以平面与平面夹角的余弦值为eq \f(1,3).故C错误．
对于D，由于，故点在平面上的投影不是△的外心，故D错误．
对于C，补充一种解法（几何法），解法如下：设正方形边长为2，依题意得：
在中，则
同理，在中，则
即为面与面所成角的二面角.
在中，由余弦定理得，
所以平面与平面夹角的余弦值为eq \f(1,3). 故C错误．
答案 【详解】，所以切线方程为.
答案 【详解】依题意得，由
得.
14.答案【详解】由题设可得：，所以为递增函数，由可得，得.
15. 【详解】由题意可求得,.
（1）可得 因为,
所以有, 整理得,解得
所以的值为
（2）设直线的单位方向向量为,则.
由于，所以，.
所以点到直线的距离
16.【详解】（1）定义域R，令
当时，有极小值，极小值为；当时，有极大值，极大值为.
（2）
所以 .
17.【详解】(1)证明：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，，
则，取，可得，
所以，，
平面，所以，平面.
(2)解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
18．【详解】（1）由题意可知，当时，，即，
解得， 所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
19.【详解】连接MC，∵EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC，
∵△ABC是正三角形，∴MC⊥AB，∴MB，MC，ME两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系M－xyz.
则M(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0，eq \r(3)，0)，E(0,0，eq \r(3))，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－1,0，eq \r(3))，
假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，
eq \(AE,\s\up6(→))＝(1,0，eq \r(3))，eq \(EC,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，－eq \r(3))，
设eq \(EP,\s\up6(→))＝λeq \(EC,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)λ，－eq \r(3)λ)，0