福建省宁德市柘荣县第一中学2024~2025学年高一下册5月月考数学试题【附解析】

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1. 计算的值是 （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.
【详解】＝＝＝.
故选：A
2. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.
【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以底．
腰，在中为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
故选:D．
3. ､是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是（ ）
A. ､都平行于直线､
B. 内有三个不共线的点到的距离相等
C. ､是内的两条直线且，
D. ､是两条异面直线且，，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行的判定和性质，对选项逐个分析判断即可得解.
【详解】对于A，当，时，不能推出；
对于B，当，且在内，在交线的一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出；
对于C，当与平行时，不能推出；
对于D，，是两条异面直线，且，，，，
内存在两条相交直线与平面平行，
根据面面平行的判定，可得，
故选：D.
4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求即可.
【详解】由b2＝ac，
又c＝2a，
得，
由余弦定理，
得cs B＝＝.
故选：B.
5. 在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据向量的加法求出，然后求出，进而可直接求解.
【详解】因为M是的中点，所以，

又因为点P在上且满足，，所以，
所以.
故选：A.
6. 把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当平面平面时，三棱锥体积最大，由此能求出结果．
【详解】解：如图，当平面平面时，三棱锥体积最大
取的中点，则平面，
故直线和平面所成的角为
，
．
故选：．
【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题．
7. 已知球面上，，三点，如果，且球的体积为，则球心到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由球的体积可以求出球的半径，利用，可以求出外接圆的半径，在根据球心距，球的半径，外接圆的半径，满足勾股定理即可求得球心到平面的距离.
【详解】设球的半径：则，所以，
设外接圆的半径，则由，所以，
而，即，
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查空间中点、线、面之间距离的计算，其中球心距求半径，截面圆半径，满足勾股定理，属于中档题.
8. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，根据正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果．
【详解】因为，由正弦定理可知， ，
又，所以
所以，所以
即，
又是锐角
所以，即，
所以，解得，所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过正弦定理和锐角三角形的特点求得，和.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项.
【详解】A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底.
B选项，不平行，可以作为基底.
C选项，，所以平行，不能作为基底.
D选项，不平行，可以作为基底.
故选：AC
10. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用面面平行性质可得A正确，再由线面垂直、面面垂直性质可得B正确，根据线面平行性质可判断C错误，D正确.
【详解】对于A，根据线面垂直的性质可得若，则，即A正确；
对于B，易知若可得或，又可知，即B正确；
对于C，若，则或，因此C错误；
对于D，如果直线平行于平面和，且和的交线为，那么直线必须平行于；
假设不平行于，它必将与其中一个平面相交，这与平行于两个平面的条件相互矛盾，
所以若，则，故D正确。
故选：ABD
11. “端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为的半球的体积，则（ ）（参考数据：）

A. 这两碗馅料最多可包三角粽35个
B. 这两碗馅料最多可包三角粽36个
C. 这两碗馅料最多可包竹筒粽21个
D. 这两碗馅料最多可包竹筒粽20个
【答案】AC
【解析】
【分析】分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得出答案.
【详解】解：两碗馅料得体积为：，
如图，在正四面体中，CM为AB边上得中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的高，
，，，
所以正四面体的体积为，
即一个正四面体状的三角粽的体积为，
因为，
所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误；
一个圆柱状竹筒粽得体积为，
因为，
所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，解得.
故答案为：.
13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解.
【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为，
如图，连接，则为的中点，连接，
则为球的半径，设圆的半径为，
在中，由正弦定理得，解得，
又，所以，
所以球的表面积为.
故答案为：
14. 四中高一同学测量学校教学大楼的高度时，在跑道上选择了相距24米的两点A、B，分别测得楼顶D的仰角，，又测得楼底C与A的连线与跑道所成的角（A、B、C三处在同一水平面上），则学校教学大楼的高度为________．
【答案】24米
【解析】
【分析】设教学楼高,根据所给条件求出，在中由余弦定理求解即可.
【详解】设教学楼高，
在中，，所以，
在中，，所以, 即，
在中，，，，,
由余弦定理可得,
，
即，解得或（舍去），
即学校教学大楼的高度为24米.
故答案为：24米.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知
（1）若三点共线，求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的共线公式求解得，再根据模长的坐标公式求解即可；
（2）方法一：根据向量垂直数量积为0，展开可得，再根据向量夹角的坐标公式求解即可；
方法二：直接根据垂直的坐标公式求解即可
【小问1详解】
，故由三点共线，得
所以，，解得：，，所以，
【小问2详解】
（2）方法一：
由得
即：
所以，，
所以，，
=
方法二：
，由得
解得.所以，，
=
16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.
（1）求所得几何体的体积；
（2）求所得几何体的表面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案；
（2）由可得答案.
【小问1详解】
将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，
所以所得几何体的体积；
【小问2详解】
易知圆锥的母线为，所以，
，
所得几何体的表面积.
17. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可；
（2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可.
【小问1详解】
连接交于点，连接，
则直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则为的中点，又为的中点，故，
平面，平面，故平面
【小问2详解】
取中点为，连接，，为的中点，
故，而底面，
故底面，底面，故；
又为的中点，则，而，即，
故，
而，平面，平面，
故平面，
又平面，故，即.
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满.
（1）求C；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）已知角C的平分线交于点，且，当取最小值时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简求值；
（2）先应用余弦定理计算得出，再应用正弦定理求解；
（3）应用面积计算得，再结合基本不等式计算得出得，，最后应用面积公式计算求解.
【小问1详解】
由已知得，
在中，由正弦定理得，
化简得，
即，
又，所以，
所以，
又，所以.
【小问2详解】
由（1）和余弦定理得，
所以
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以.
【小问3详解】
由（1）得，
因为角平分线交于点，
所以，
又，
所以，
又，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取得最小值，
由，解得，，
所以.
19. 如图，已知等腰梯形的外接圆半径为2，，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面.
（1）求三棱锥体积的最大值；
（2）当平面时，求的值；
（3）设与平面所成的角为，二面角的平面角为.求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1) 当时，到平面的距离最大, 的值最大；
(2) 连接AC交BD于点M，连接QM，则有，可得，即可得答案；
(3) 作垂足为，连接，可得即为与平面所成的角；过作垂足为，连结，可得即为二面角的平面角，根据直角三角形中正切值的定义证明即可.
【小问1详解】
解：当时，
平面，由平面平面，平面平面，
知平面，
此时，到平面的距离最大，为，
所以，的最大值为，
【小问2详解】
连接AC交BD于点M，连接QM，
则平面平面，
依题意，平面，平面，所以 ，
所以，，
等腰梯形中， ，
所以，
【小问3详解】
证明：作垂足为，连接，
平面平面，平面平面
此时，平面ABCD，是在平面的射影，
所以即为与平面所成的角；
,
过作垂足为，连结，
又，，
所以平面，平面，,
所以即为二面角的平面角,
，所以=2，即.