福建省福州九校联盟2024~2025学年高一下册期中联考数学试卷

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考试时间：4月18日 完卷时间：120分钟 满 分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在△ABC中，M为AB边上的中点，则CM=（ ）
A．12CB+12CA B．−12CB−12CA C．12CB+CAD．−CB+12CA
2、已知复数 满足 ，则复数 的模为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3、已知向量、、 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则=
B. 若与共线，与 共线，且为非零向量，则与 共线
C. 单位向量都平行
D. 若 ，则、中至少有一个是零向量
4、已知等边三角形ABC的边长为2,则AB∙BC=（ ）
A．2B．−2 C．2 D．−2
5、已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则该正四棱台的体积为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 32
6、若非零向量 满足 且 ，则为（ ）
直角三角形 B. 等边三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 三边均不相等的三角形
7、在我国古代数学名著《九章算术》中，有这样一个有趣的问题：古人用无盖的正方体容器来测量球体的相关数据。已知该正方体容器的高度为4寸（注：寸是古代长度单位）。将一个球体放置在正方体容器口上，然后向容器内注水，当水面刚好接触到球面时，测得此时容器内水的深度为3寸。若不考虑容器壁的厚度，那么这个球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8、窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为
B． 在 方向上的投影向量为
C
D．若函数 则函数的最小值
为6+22
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、下列关于多面体的几种说法，正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱
B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C. 棱台的上、下底面边长之比等于侧棱延长线交点到上、下底面的距离之比
D. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥
10、已知向量 与 满足且，则下列说法正确的是（ ）
A.向量 与 的夹角为150° B.
C.向量 与向量 垂直
D.
11、设复数满足 ，则 的（ ）
A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止
状态，则 .
13、在棱长为2正方体中，三棱锥的表面积为 .
14、已知I为△ABC的内心，且5IA=4(BI+CI)，记分别为△ABC的外接圆、内切圆半径，若，则= .
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（13分）设复数 ， ．
（1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求；
（3）在复平面内复数、对应平面向量分别为、，且∥，求。
16、(15分)在中， ， ， 边的长分别为 ， ， ，
（1）利用向量知识证明： ；
（2）已知， ， ，求 。
17、(15分)如图在中，为直角， ，点是的中点，为边一点，
且满足 .
当 时，求证：；
取何值时， 与 夹角余弦值等于 。
18、（17分）在中，角A，B，C的对边分别为 ， ， ，若 ，
为 边上一点.
（1）求角 的大小；
（2）若 且 ，求的周长；
（3）若 平分角 ，证明： 。
（17分）某工业园区有一条长550米，宽15米的货运通道（如图所示的矩形），通道一侧规划了55个长10米，宽5米的货车停车位（矩形），随着园区企业的发展，货车流量不断增加，停车位供不应求，在货物运输高峰时段，通道拥堵严重。园区管理部门的王工程师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不影响货运通道正常通行宽度的条件下，通过压缩通道旁边的绿化带以及调整停车位方向来增加停车位数量，记绿化带被压缩的宽度
（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 关于的函数表达式 ；
(3)若 ，按照王工程师的改造方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
货运通道
货运通道