北京市通州区2023-2024学年高二下册期中质量检测数学试卷【附解析】

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本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 下列求导运算结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 4名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 48
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
5. 一辆汽车在笔直公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在时间段内匀速行驶；②汽车在时间段内不断加速行驶；③汽车在时间段内不断减速行驶；④汽车在时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（ ）

A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6. 3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ）
A. B. C. 24D. 12
7. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. 10D. 40
8. 定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（ ）
A. B. 和
C. D. 和
9. 已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凸三位数”，则没有重复数字的“凸三位数”的个数为（ ）
A. 240B. 204C. 176D. 168
10. 函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（ ）
A. 一定大于B. 一定小于
C. 等于D. 与大小关系不确定
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 计算：______.
12. 若展开式中第五项与第六项的二项式系数相等且最大，则______；该展开式的常数项为______（结果用数字表示）．
13. 已知某物体运动的位移是时间ts的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为______；估计时的位移为______m．
14. 已知函数，则在的切线中，斜率最小的切线的方程为______.
15. 已知函数在点处取得极大值，其导函数y=f'x图象经过点1,0，2,0，如图所示．关于函数有四个结论：
①函数在区间上单调递减；
②函数在区间上单调递减；
③函数的图象关于中心对称；
④；
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．
（1）将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？
（2）从6名中选出3人参加某公益活动．
（i）共有多少种不同的选择方法？
（ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
17. 设．
（1）求；
（2）求．
18. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的极大值与极小值.
19. 如图1所示，现有一块边长为1.5m的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2.则容器的容积是容器底面边长的函数.
（1）写出函数的解析式并注明定义域；
（2）求这个容器容积的最大值.
20. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求证：当时，有.
21. 设函数.
（1）求的最小值；
（2）设，求证：是函数只有一个极大值点充分不必