2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=−3,−2,−1,0,1,2,3，集合A={x∈Z|x2<4}，则∁UA=( )
A. −3,3B. 2,3C. −1,0,1D. −3,−2,2,3
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=1 xB. f(x)=(x−1) 2C. f(x)=lgxD. f(x)=(12)x
3.已知a=lg12，b=30.1，c= 3，则( )
A. a4.设A，B为两个随机事件，若P(B|A)=12，PA=25，PB=23，则P(A|B)=( )
A. 15B. 310C. 12D. 35
5.已知a>0，b>0，则“ab=1”是“a+b≥2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.在(x−2)10的展开式中，x6的系数为( )
A. −64C106B. 64C106C. −16C104D. 16C104
7.有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为( )
A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.090
8.某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从A，B，C，D，E，F这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果员工A不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有( )
A. 360种B. 300种C. 180种D. 120种
9.设函数fx为定义在R上的奇函数，若曲线y=fx在点2,4处的切线的斜率为10，则f′−2+f−2=( )
A. −16B. −6C. 6D. 16
10.已知函数f(x)=lnxx,x>0x 2+2x,x≤0；若方程f(x)=a恰有三个根，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1e)B. [0,1e]C. (−1,1e)D. (0,1e)∪{−1}
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数fx=lgx+ 1−x的定义域是 ．
12.不等式x 2−x−12>0的解集是 ．
13.某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布N90,15 2，则成绩位于90,105的人数大约是 ．(参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545)
14.已知命题P：函数f(x)=−x 2+a,x≤0 x+b,x>0为R上的增函数．能说明P为假命题的一组a，b的值为a= ，b= ．
15.已知函数f(x)=|lnx|+b，关于以下四个结论：
①函数f(x)的值域为[b,+∞)；
②当a>b时，方程f(x)=a有两个不等实根；
③当b=0，a>0时，设方程f(x)=a的两个根为x1，x2，则x1+x2为定值；
④当b=0，a>0时，设方程f(x+1)=a的两个根为x1，x2，则x1x2+x1+x2=0．
则所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知函数f(x)=x2+ax+bx(a,b∈R)．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)当a=2，b=1时，求函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值．
17.（12分）某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示．
现从该班所有学生中随机抽取一人：
(1)求抽到预习了所学内容的概率；
(2)若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率；
(3)试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由．
18.（12分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间(单位：分钟)，得到了如图所示的频率分布直方图．
(1)若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在20,60内的人数；
(2)开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周(每周两人，不重复)进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于60,80的概率；
(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为X，求X的分布列与数学期望EX．
19.（13分）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品(两个市场的销售互不影响)，为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设X(单位：吨)表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量X概率分布列；
(3)在(2)的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进n吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断n=7与n=8应选用哪一个．
20.（13分）已知函数fx=2x 3−3x 2+x．
(1)若曲线y=fx在点x0,fx0处的切线的斜率为1，求曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程；
(2)定义：若∀x∈a,b，均有fx≤gx，则称函数gx为函数fx的控制函数．
①∀x∈0,1，试问gx=x是否为函数fx=2x 3−3x 2+x的“控制函数”？并说明理由；
②∀x∈0,3，若gx=x+m为函数fx=2x 3−3x 2+x的“控制函数”，求实数m的取值范围．
21.（13分）已知函数f(x)=e x−1x+alnx+ax．
(1)当a=e时，求f(x)的最小值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)写出f(x)的零点个数(直接写出结果)．
答案解析
1.D
【解析】依题意，A={x∈Z|−2所以∁UA=−3,−2,2,3．
故选：D
2.C
【解析】对于A，函数f(x)=1 x在(0,+∞)上单调递减，A不是；
对于B，函数f(x)=(x−1) 2在(0,1)上单调递减，B不是；
对于C，函数f(x)=lgx在(0,+∞)上单调递增，C是；
对于D，函数f(x)=(12)x在(0,+∞)上单调递减，D不是．
故选：C
3.A
【解析】因为a=lg1230.1>30=1，
即a<0，c>b>1，
所以c>b>a．
故选：A
4.B
【解析】由条件概率可得P(B∣A)=P(AB)P(A)=12⇒P(AB)=15，
所以PA|B=PABPB=1523=310，
故选：B
5.A
【解析】由a>0，b>0，ab=1，得a+b≥2 ab=2，当且仅当a=b=1时取等号，
反之，a>0，b>0，a+b≥2，取a=2,b=1，则ab=2≠1，
所以“ab=1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．
故选：A
6.D
【解析】解：因为 (x−2)10 的通项公式为 Tr+1=C10rx10−r(−2)r ，
令 10−r=6 得 r=4 ，所以 x6 的系数为 16C104 ．
故选：D．
7.B
【解析】记现任取一件零件它是次品为事件A，
则PA=4%×40%+5%×60%=0.046．
故选：B
8.B
【解析】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为A64种，
其中员工A在第四道工序工作的安排方法数为A53种，
所以不同的安排方法共有A64−A53=300(种)．
故选：B
9.C
【解析】由函数fx为定义在R上的奇函数，得f(−x)=−f(x)，则f(−2)=−f(2)=−4，
两边求导得−f′(−x)=−f′(x)，即f′(−x)=f′(x)，而f′(2)=10，则f′(−2)=f′(2)=10，
所以f′−2+f−2=6．
故选：C
10.C
【解析】当x≤0时，f(x)=(x+1)2−1，函数f(x)在(−∞,−1]上单调递减，在[−1,0]上单调递增，
当x>0时，f(x)=lnxx，求导得f′(x)=1−lnxx2，
由f′(x)>0，得0e，即函数f(x)在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，
当x=e时，f(x)取得极大值f(e)=1e，且当x>1时，f(x)>0恒成立，
在同一坐标系内作出直线y=a与函数y=f(x)的图象，如图，
观察图象知，当−1所以实数a的取值范围是(−1,1e)．
故选：C
11.0,1
【解析】对于函数fx=lgx+ 1−x，则x>01−x≥0，解得0所以fx=lgx+ 1−x的定义域为0,1．
故答案为：0,1
12.−∞,−3∪4,+∞
【解析】因为x2−x−12=x−4x+3>0，
所以x>4或x<−3．
故答案为：−∞,−3∪4,+∞
13.1365
【解析】令高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩为X，则X∼N(90,15 2)，其中μ=90,σ=15，
则P(90≤X≤105)=P(μ≤X≤μ+σ)=12P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈12×0.6827=0.34135，
所以成绩位于90,105的人数大约是0.34135×4000≈1365．
故答案为：1365
14.2；0
【解析】函数y=−x2+a在(−∞,0]上单调递增，y= x+b在(0,+∞)单调递增，
则由函数f(x)=−x 2+a,x≤0 x+b,x>0为R上的增函数，得b≥a，
即命题P为真命题时，a≤b，因此P为假命题时，a>b，
能说明P为假命题的一组a，b的值可以为a=2，b=0．
故答案为：2；0
15.①②④
【解析】对于①，函数f(x)=|lnx|+b，由于|lnx|≥0，故f(x)≥b，
因此函数f(x)的值域为[b,+∞),①正确；
对于②，当a>b时，方程f(x)=a⇔|lnx|=a−b，解得x=eb−a或x=ea−b，
而0对于③，当a>0时，|lnx|=a，不妨令x1=e−a，x2=ea，则x1<1则x1+x2=e−a+ea=1ea+ea，由于y=t+1t在(1,+∞)上单调递增，
故x1+x2随ea的增大而增大，③错误；
对于④，当a>0时，|ln(x+1)|=a，不妨令x1=e−a−1，x2=ea−1，
则x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)−1=e−a⋅ea−1=0，④正确，
所以所有正确结论的序号为①②④．
故答案为：①②④
16.(1)函数f(x)=x2+ax+bx的定义域为xx≠0，
由于f(x)为奇函数，则对于定义域内任意x，都有f(−x)=−f(x)成立，
即(−x)2+a(−x)+b−x=−x2+ax+bx，即2ax=0恒成立，而当x≠0时，
所以a=0．
(2)当a=2，b=1时，f(x)=x2+2x+1x=x+1x+2，
由x>0，得f(x)=x+1x+2≥2 x⋅1x+2=4，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
所以，当x=1时函数f(x)取得最小值为4．
【解析】(1)利用奇函数的定义求出a的值．
(2)利用基本不等式求出最小值即得．
17.(1)设抽到预习本节课所学内容的同学为事件A，抽到的同学是男生为事件B，
由数表知，该班共有40名同学，预习了本节课所学内容的学生有29人，
则P(A)=2940．
(2)依题意，nB=18,nAB=12，因此P(A|B)=nABnB=1218=23，
所以抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为23．
(3)由数表知，P(A)=2940，P(B)=1840=920，P(AB)=1240=310，P(AB)≠P(A)P(B)，
所以“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立．
【解析】(1)根据给定的数表，利用古典概率公式计算即得．
(2)根据给定条件，利用条件概率公式计算即得．
(3)利用相互独立事件的定义判断即得．
18.(1)由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
则100人的样本中假期日均阅读时间[20,60)的频率为0.15+0.25=0.4，
估计该校学生假期日均阅读时间在[20,60)内的频率为0.4．
所以估计该校假期日均阅读时间在[20,60)内的人数为2000×0.4=800人.
(2)阅读时间在[60,80),[80,100)，[100,120]的频率依次为：0.3，0.2，0.1，
则在[60,80),[80,100)，[100,120]抽取的人数依次为3人，2人，1人，
设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于[60,80)为事件A，
所以P(A)=C31C31+C32C30C62=9+315=45．
(3)从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为0.3+0.2+0.1=0.6，
随机变量X的可能取值为0,1,2,3，得X∼B(3,0.6)，
则P(X=0)=C30 ×0.43×0.60=0.064，P(X=1)=C31 ×0.42×0.61=0.288，
P(X=2)=C32 ×0.41×0.62=0.432，P(X=3)=C33 ×0.40×0.63=0.216，
所以X的分布列为
数学期望为E(X)=3×0.6=1.8．
【解析】(1)利用频率分布直方图求出[20,60)的频率，再估计人数即得．
(2)求出在[60,80),[80,100)，[100,120]抽取的人数，再结合组合计数求出古典概率．
(3)求出X的可能值及各个值对应的概率，利用二项分布列出分布列并求出期望．
19.(1)设甲市场销售量为4吨的事件为A，则P(A)=0.4．
(2)设甲市场销售量为x吨的概率为Px，乙市场销售量为y吨的概率为Py，
则由题意得Px=3=0.3，Px=4=0.4，Px=5=0.3；
Py=3=0.2，Py=4=0.5，Py=5=0.3，
设两个市场总需求量为X的概率为PX，X所有可能的取值为6，7，8，9，10，
PX=6=Px=3,y=3=Px=3Py=3=0.3×0.2=0.06，
PX=7=Px=3,y=4+Px=4,y=3=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23，
PX=8=Px=3,y=5+Px=4,y=4+Px=5,y=3=0.3×0.3+0.4×0.5+0.3×0.2=0.35，
PX=9=Px=4,y=5+Px=5,y=4=0.4×0.3+0.3×0.5=0.27，
PX=10=Px=5,y=5=0.3×0.3=0.09，
所以X的分布列如下表：
(3)由(2)知，PX=6=0.06，PX≥7=0.94，
当n=7时，销售利润T1，当X=6时，T1=1000×6−7−6×200=5800，当X≥7时，T2=1000×7=7000，
因此T1的分布列为：
则ET1=5800×0.06+7000×0.94=6928元；
当n=8时，PX=6=0.06，PX=7=0.23，PX≥8=0.71，
销售利润T2，当X=6时，T2=1000×6−8−6×200=5600，
当X=7时，T2=1000×7−8−7×200=6800，当X≥8时，T2=1000×8=8000，
因此T2的分布列为：
则ET2=5600×0.06+6800×0.23+8000×0.71=7850元；
因为7850>6928，所以应选n=8．
【解析】(1)利用古典概率求得结果．
(2)求出X的可能及各个值对应的概率，列出分布列．
(3)分别求出n=7与n=8时销售利润的期望，再比较大小即得结果．
20.(1)f′x=6x2−6x+1，所以f′x0=6x02−6x0+1=1，
解得x0=0或x0=1，可得切点坐标为0,0，或1,0，
所以曲线y=fx在点0,0处的切线方程为y=x，
曲线y=fx在点1,0处的切线方程为y=x−1；
(2)①，是“控制函数”，理由如下，
由fx≤gx得2x 3−3x 2+x≤x，
可得2x 3−3x 2≤0，x22x−3≤0，
因为∀x∈0,1时，x22x−3≤0恒成立，
即2x 3−3x 2+x≤x恒成立，
所以函数gx为函数fx的“控制函数”；
②，若gx=x+m为函数fx=2x 3−3x 2+x的“控制函数”，
则∀x∈0,3，fx=2x 3−3x 2+x≤gx=x+m恒成立，
即∀x∈0,3，2x3−3x2≤m恒成立，
令ℎx=2x3−3x2，x∈0,3，
ℎ′x=6x2−6x=6xx−1，
当00，
ℎx在0,1上单调递减，在1,3上单调递增，
所以ℎx在x=1有极小值，ℎ0=0，ℎ3=2×33−3×32=27，
所以m≥27．
【解析】(1)根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程可得答案；
(2)①由fx≤gx得x22x−3≤0，根据x的范围可得答案；②转化为∀x∈0,3，2x3−3x2≤m恒成立，令ℎx=2x3−3x2求出ℎx在∀x∈0,3的最值可得答案．
21.(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a=e时，f(x)=ex−1x+elnx+ex，求导得f′(x)=ex−1(x−1)x2+ex−ex2=(ex−1+e)(x−1)x2，
而ex−1+e>0，则当x>1时，f′(x)>0，当0因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以当x=1时，f(x)取得最小值为f(1)=1+e．
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=ex−1(x−1)x2+ax−ax2=(ex−1+a)(x−1)x2，
当a≥0时，ex−1+a>0，则当x>1时，f′(x)>0，当0因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当a<0时，令f′(x)=(ex−1+a)(x−1)x2=0，解得x1=1，x2=1+ln(−a)，
①当1+ln(−a)≤0，即−1e≤a<0时，由f′(x)<0，得00，得x>1，
因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
②当1+ln(−a)>1，即a<−1时，由f′(x)>0，得01+ln(−a)，由f′(x)<0，得1因此函数f(x)在(0,1)，(1+ln(−a),+∞)上单调递增，在(1,1+ln(−a))单调递减；
③当1+ln(−a)=1，即a=−1时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)上(0,+∞)上单调递增；
④当0<1+ln(−a)<1，即−10，得01，由f′(x)<0，得1+ln(−a)因此函数f(x)在(0,1+ln(−a))，(1,+∞)上单调递增，在(1+ln(−a),1)单调递减，
所以当a≥−1e时，函数f(x)的递减区间为(0,1)，递增区间为(1,+∞)；
当−1当a=−1时，函数f(x)的递增区间为(0,+∞)，无递减区间；
当a≤−1时，函数f(x)的递减区间为(1,1+ln(−a))，递增区间为(0,1)，(1+ln(−a),+∞)．
(3)由(2)知，当a≥−1e时，函数f(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，
f(x)min=f(1)=1+a>0，因此函数f(x)无零点；
当−1当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=1+a>0，当x=1+ln(−a)时，f(x)取得极大值f(1+ln(−a))>0，
而x从大于0的方向趋近于0时，f(x)趋近于负无穷大，因此f(x)有唯一零点；
当a=−1时，函数f(x)在(0,+∞)上递增，f(1)=1+a=0，因此f(x)有唯一零点；
当a<−1时，函数f(x)在(0,1)，(1+ln(−a),+∞)上递增，在(1,1+ln(−a))递减，
当x=1时，f(x)取得极在值f(1)=1+a<0，当x=1+ln(−a)时，f(x)取得极小值f(1+ln(−a))<0，
而x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，因此f(x)有唯一零点；
所以当a≥−1e时，函数f(x)无零点；当a<−1e时，函数f(x)有唯一零点．
【解析】(1)把a=e代入，求出函数f(x)的导数，探讨单调性求出最小值．
(2)求出函数f(x)的导数，按导数的零点分布情况分类讨论求出单调区间．
(3)结合(2)的结论，借助单调性确定最值、极值情况，并结合零点存在性性定理确定零点个数．

男生
女生
预习了所学内容
12
17
没预习所学内容
6
5
销售量销售周期个数市场
3吨
4吨
5吨
甲
3
4
3
乙
2
5
3
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
X
6
7
8
9
10
P
0.06
0.23
0.35
0.27
0.09
X
X=6
X≥7
T1
5800
7000
P
0.06
0.94
X
X=6
X=7
X≥8
T2
5600
6800
8000
P
0.06
0.23
0.71