浙教版2025年八年级数学下学期期末总复习(专题训练)专题02一元二次方程(考题猜想，12大题型)(学生版+解析)

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题型一 根据一元二次方程的定义求参数
题型二 选用合适的方法解一元二次方程
题型三 利用换元法解一元二次方程
题型四 利用配方法求最值问题
题型五 与解一元二次方程有关的新定义问题
题型六 根据判别式求证一元二次方程根的情况
题型七 根的判别式与根与系数关系综合
题型八 与根的判别式有关的新定义问题
题型九 已知一元二次方程的根满足的关系求参数
题型十 与一元二次方程根与系数的关系有关的新定义问题
题型十一 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题
题型十二 一元二次方程与实际问题
题型一 根据一元二次方程的定义求参数
1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程
(1)是关于的一元一次方程．
(2)是关于的一元二次方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．
（1）根据题意得到，或，进而求解即可；
（2）根据题意得到，，进而求解即可；
【详解】（1）解：根据题意得，，或，
∴或；
（2）解：根据题意得，，
∴，
∴．
2．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程．
(1)当a为何值时，方程是一元一次方程；
(2)当a为何值时，方程是一元二次方程；
(3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．
【答案】(1)1
(2)且
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义：
（1）根据一元一次方程的定义，即可求解；
（2）根据一元二次方程的定义，即可求解；
（3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程，
∴且，
解得：；
（2）解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：且；
（3）解：当时，原方程为，
解得：，
∵该方程有两个实根，
∴，
∴且，
∴．
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
(1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程；
(2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值．
【答案】(1)存在，时；时
(2)存在，
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可．
【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程，
当时，解得，此时程为，解得；
当时，解得，此时方程为，解得．
当时，方程无解；
（2）存在．
根据一元二次方程的定义可得，解得．
【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程．
题型二 选用合适的方法解一元二次方程
4．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【详解】（1）解：，
，
，
即，；
（2）解：，
，
则或，
解得，．
5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶
解方程∶
(1)小明的解法从第 步开始出现错误；
(2)请用适当方法给出正确的解答．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数的情况，故小明的解法从第4步开始出现错误，
（2）用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：小明的解法从第4步开始出现错误，
∵0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数，
∴还有的情况．
故答案为：4．
（2）
6．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用适当的方法解方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，．
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
【详解】（1）解：
移项，得：，
配方，得：，
开方，得：，
解得：，．
（2）解：
移项，得：，
因式分解，得：，
即：或，
解得：，．
7．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）选择适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；
（2）利用求根公式法解方程．
【详解】（1）解：，
，
，
开方得：，
∴，；
（2）∵，，，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解．掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
题型三 利用换元法解一元二次方程
8．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料：
为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解方程：．
【答案】，，，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
利用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：将原方程变形为，
设，则，原方程化为，
解得：，，
当时，，解得：；
当时，，解得：或；
原方程的解为，，，．
9．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设，满足等式，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
【答案】(1)；
(2)，，，．
【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案；
（）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想．
【详解】（1）设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（2）设最小正整数为，则，
即：，
设，则，解得：，，
∵为正整数，
∴，解得，（舍去），
∴这四个连续正整数为，，，．
10．（20-21九年级上·贵州毕节·期末）阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法．
例如：解方程
解：设
原方程化为：
∴
∴或 ∴，
当时，即
∴或
，
当时，即
∴或
∴，
∴原方程的解是：，，，
请你利用换元法解方程：
【答案】x=或x=或x=3或x=-3
【分析】设，然后解关于y的方程；再根据y值解关于x的方程．
【详解】解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴解得：y=-1或y=2，
当y=-1时，即，
解得：x=或；
当y=2时，即，
解得：x=3或-3，
综上：原方程的解为x=或x=或x=3或x=-3．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．
题型四 利用配方法求最值问题
11．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
（2）已知，则______；
探究问题；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论；
（4）已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）把拆成两个整数的平方即可；
（2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：（1）由题意得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，为．
12．（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数，
①，；②，．
请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数，都有；
(2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系．
（1）根据非负数的性质解答；
（2）利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，．
．
13．（24-25八年级上·河南南阳·期中）【方法学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，
∵，
∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1．
【问题解决】
(1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
(2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为
(2)当时，；当时，
【分析】（）利用配方法解答即可求解；
（）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解；
本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；
（2）解：由题意得，，，
∴，
当时，，即，
∴当时，；
当时，，即，
∴当时，；
综上所述，当时，；当时，．
题型五 与解一元二次方程有关的新定义问题
14．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）定义：若一元二次方程满足．则称此方程为“蛟龙”方程．
(1)当时，判断此时“蛟龙”方程解的情况，并说明理由．
(2)若“蛟龙”方程有两个相等的实数根，请解出此方程．
【答案】(1)“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，理由见解析
(2)或
【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得，故△，当时，，根据判别式的意义即可得出结论；
（2）根据“蛟龙”方程的定义得，根据判别式的意义得，求出，进而得到方程的解．
【详解】（1）解：“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，
理由如下：
一元二次方程为“蛟龙”方程，
，
，
，
“蛟龙”方程有两个不相等的实数根；
（2）解: 方程为“蛟龙”方程，
，
方程 有两个相等的实数根，
，
或2，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得．
“蛟龙”方程的解为0或．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大．
15．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）定义一种新运算：对于任意非零实数和，，例如：，，请回答下列问题：
(1)计算；
(2)解方程：
(3)直接写出不等式的解．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)或或
【分析】（1）根据新定义运算对于任意非零实数和，即可解答；
（2）根据新定义运算可得方程，再根据因式分解可知方程的解；
（3）根据新定义运算分情况讨论解不等式即可解答．
【详解】（1）解：∵对于任意非零实数和，，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
（3）解：①当时，，
两边同时乘以，得，
，
解得：，
∴不等式的解为：；
②当时，
∴ ，
∴不等式的解，
③当时，
，
解得：，
∴不等式的解为，
综上，不等式的解为：或或．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元二次方程方法，解不等式的方法，分情况讨论思想，读懂题意理解新定义运算是解题的关键．
16．（20-21八年级下·浙江·期末）已知m，n是实数，定义运算“※”为：．
（1）分别求与的值．
（2）若，求x的值．
（3）若关于x的方程数有两个相等的实根，求实数a的值．
【答案】（1）-10，；（2）x=1或x=-2；（3）0
【分析】（1）利用新定义得到算式，然后进行实数运算即可；
（2）根据新定义得到方程，解之即可；
（3）利用新定义得到（a+1）x2+（a+1）x+=0，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：（1）；
；
（2）∵，
∴，
∴，即，
解得：x=1或x=-2；
（3）由得：
x（ax+x）+ax+x=，
整理得（a+1）x2+（a+1）x+=0，
因为关于x的方程（a+1）x2+（a+1）x+=0有两个相等的实数根，
所以a+1≠0且Δ=（a+1）2-4（a+1）×=0，
所以a=0．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算和解一元二次方程．
题型六 根据判别式求证一元二次方程根的情况
17．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根；
(2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）根据关于的方程的根的判别式的符号来判断该方程的根的情况；
（）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可；
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，此方程一定有实数根；
（2）解：将代入，
得，解得，
解，得，，
∴另一个根为．
题型七 根的判别式与根与系数关系综合
18．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）△=＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数关系可得：，即可求解.
【详解】（1）证明：∵，
无论m取何实数，的值都大于零．
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
又∵，
∴．
∴，代入原方程得：
，
化简得：．
解得：，．
【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键是熟知根与系数的关系及用根的判别式判定根的情况．
19．（20-21八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求三边的长．
【答案】（1）见解析；（2）5，5，6或4，5，5
【分析】（1）先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值，可得结果．
【详解】解：（1）证明：∵Δ=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，
则k=5，
则三边的长为5，5，6；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，
则k+1=5，解得k=4，
则三边的长为4，5，5．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
20．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
(2)等腰的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）先求出根的判别式的值，再根据无论k取何值，恒成立证明；
（2）根据等腰三角形两腰相等求出k的值，再根据求出两腰长的和，最后相加得出周长．
【详解】（1）证明：
=
无论k取何值，恒成立．
故无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）解：由题意得此时，
即
解得k=3．
此时
∴两腰长的和为．
的周长=2+6=8．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系及根与系数的关系，解（1）的关键是求出，解（2）的关键是求出．
21．（20-21八年级下·浙江金华·期末）已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）m的值是1．
【分析】（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可得到一个关于m的方程，求得m的值．
【详解】（1）证明：对于关于x的方程x2-（6+m）x+9+3m=0，
∵，，，
∴=（6+m）2-4（9+3m）=m2≥0，
∴无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC=m+6，AB•AC=9+3m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴（AB+AC）2-2AB•AC=BC2，
即（m+6）2-2×（9+3m）=52，
解得：m=-7或m=1，
又∵AB•AC=9+3m，m为正数，
∴m的值是1．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及运用公式法解一元二次方程，考查的知识点较多，但难度不大．
题型八 与根的判别式有关的新定义问题
22．（20-21八年级下·浙江·期末）已知m，n是实数，定义运算“*”为：．
（1）求的值；
（2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求实数a的值．
【答案】（1）；（2）3
【分析】（1）利用新定义得到=，然后进行运算即可；
（2）利用新定义得到，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，解之即可．
【详解】解：（1）==；
（2），
∴，
∴，
即，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：a=3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了实数的运算．
题型九 已知一元二次方程的根满足的关系求参数
23．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是，求k的值．
(2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系：
（1）把代入方程求出的值即可；
（2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可；
（3）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程得：
解得：或；
（2）由题意，得：，
解得：；
（3）由题意，得：，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）
∴．
24．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）若关于的方程的有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若满足，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由方程有两个实数根，得到，解不等式即可得到答案；
（2）根据，则可以分为或，进行讨论，分别求出m的值，再结合（1）的结论，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根、，
∴，
解得；
（2）∵，
∴或，
当，则，所以，
当，即，解得，
∵，
∴的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，注意分类讨论．
25．（24-25九年级上·浙江·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若两根，满足，求k的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
（1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解；
（2）根据根与系数的关系可知，，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：；
（2）解：由题意得，，，
∵
∴
整理得，
∴
或
解得，．
26．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键．
（1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程；
（2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可．
【详解】（1）解：正确，理由如下，
∵，
∴，
∴关于的方程一定为一元二次方程；
（2）解：当时，，
∴该方程为，
①∵该方程有实数解，
∴，
∴，
解得：；
②，整理得：，
∵和是该方程的两个实数解，
∴，，
∴代入中，得：，
整理得：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵由①得：；
∴．
题型十 与一元二次方程根与系数的关系有关的新定义问题
27．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③．
(2)若是“邻根方程”，求n的值．
(3)若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
【答案】(1)①③
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，正确理解“邻根方程”的定义是，解答的关键．
（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的方程求解即可；
（3）设方程的两个根，根据 “邻根方程”的定义得到，利用根与系数关系可得到b、c的数量关系．
【详解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
②解方程得，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：①③．
（2）解：解方程得：，，
∵该方程是“邻根方程”，
∴或，解得或．
（3）解：∵一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，
∴设方程的两个根，则，，，，
由得，
∴，即，
∴．
28．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”；
①；②；
(2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值．
【答案】(1)①不是“对称方程”；②是“对称方程”
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，以及根据“对称方程”的概念来解答一元二次方程中相应参数的值，熟练掌握一元二次方程的解法以及根与系数的关系是解答此题的关键．
（1）将这两个方程分别解出来，再看它们的两个根是否互为相反数，即可判断它们是否为“对称方程”；
（2）根据“对称方程”的特点即可得出两根之和等于0，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，代入相应字母的值可得出一个关于的方程，解出该方程即可得到的值．
【详解】（1）解：①，
因式分解得，
，，
∵该方程的两实数根不互为相反数，
∴此方程不是“对称方程”；
②，
整理得，
，，
∵该方程的两实数根互为相反数，
∴此方程是“对称方程”；
（2）解：∵关于一元二次方程是“对称方程”，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，原方程为，无解，
∴．
29．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
【答案】(1)四
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“n倍根方程”的定义．
（1）先解方程，再根据“n倍根方程”的定义即可得出结论；
（2）根据三倍根方程的定义以及根与系数的关系列方程组解答即可；
（3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案；
【详解】（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
题型十一 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题
30．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程两个根为，，则______，______．
(2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，其中且．求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可；
（3）把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程两个根为，，
∴，；
（2）解：由题意可知：m，n是的两个根，
∴，，
∴；
（3）解：把，两边同时除以得：，
则实数s和可看作方程的根，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键．
31．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
(3)提升：已知实数，满足，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键；
（1）利用根与系数的关系，即可得出的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解；
（3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解；
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，
故答案为：；
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
即或
当时，
；
当时，
；
32．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程：
．
第一步：原方程可变形为：；
第二步：令；
第三步：第一步的方程可变形为；
第四步：……；
根据的值可以求出，．
【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解．
(1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________；
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 D．类比思想
(2)完成材料中第三步以后求值的过程；
(3)利用均值换元法解方程：．
【答案】(1)C
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）利用整体代换的思想把原一元二次方程化简单的一元二次方程；
（2）用直接开平方法解关于的方程，然后求出对应的的值得到原方程的解：
（3）先把原方程变形为，令，则原方程可化为，再解关于的方程得到，，然后计算出对应的的值即可．
本题考查了换元法解一元二次方程以及解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【详解】（1）解：依题意，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想；
故选：C；
（2）解：∵，
∴，
解得，，
当时，，解得，
当时，，解得，
原方程的解为，；
（3）解：原方程变形为，
令，
原方程可化为，
，
解得，，
当时，，解得，
当时，，解得，
原方程的解为，．
题型十二 一元二次方程与实际问题
33．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
【答案】问题1：29500元；问题2：元；问题3：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的相等关系．
问题1：根据题意原售价基础上减去500元即可；
问题2：原售价减去每台下降的部分即可得出答案；
问题3：根据总利润每台利润销售数量列方程求解即可．
【详解】解：问题1：当团购3台时，每台空调的团购价为（元）；
问题2：设团购数量增加台，表示每台空调的团购价为（元）；
问题3：根据题意，得：，
整理，得：，
解得（舍去），，
答：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
34．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践．
(1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长．
(2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长．
【答案】(1)米
(2)米或米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米，
由题意得：，且，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
故围成的矩形基地边的长为米．
（2）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米，
由题意得：，且，
整理得：，
解得：，，
故围成的矩形基地边的长为米或米．
35．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
(1)求2021年至2023年日租金的平均增长率．
(2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
【答案】(1)
(2)①，；
②或元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式；
（1）设年至年日租金的平均增长率为，利用年每辆汽车的日租金年每辆汽车的日租金年至年日租金的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）①利用每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含的代数式表示出每辆汽车的日租金；利用实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含的代数式表示出实际能租出的数量；
②利用日收益总租金各类费用，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
36．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数）
(1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率．
(2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格．
【答案】(1)从月份到月份，玩具销售额的月平均增长率为
(2)月份每个玩具的销售价格是元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．
（1）先计算出4月份的玩具销售额，设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可．
（2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个，根据销售额销售单价销售数列出关于x的一元二次方程求解，解出x再加上原销售价即可．
【详解】（1）解：4月份的玩具销售额为元
设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，
由题意得，
解得，（舍去）
答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为
（2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个
解得，（舍）
答：6月份每个玩具的销售价格是90元
37．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园．
(1)如图1，利用墙围成矩形花园，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长：
(2)如图2，用围栏补墙得到矩形花园，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)矩形花园的边长分别为8米和4米
(2)的长为6米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设米，则米，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长4米，即可确定结论；
（2）花园的面积能为36平方米，设米，则米，根据围成的花园面积为36平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可得出结论．
【详解】（1）解：设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：花园的边长为8米和4米；
（2）解：花园的面积能为36平方米，
设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
．
答：花园的面积能为36平方米，的长为6米．
38．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）某商场销售一批运动服， 平均每天可售出 30 套， 每套盈利 100 元， 为了扩大销售， 增加盈利， 减少库存， 商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现， 每套运动服每降价 2 元， 商场平均每天可多售出 1 套．
(1)当每套运动服降价(是偶数) 元时，商场每天可售出运动服 套 (用含 的代数式表示)；
(2)若商场每天要盈利 3150 元， 则每套运动服应降价多少元？
【答案】(1)
(2)每件运动服应降价30元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）根据每套运动服每降价 2 元， 商场平均每天可多售出 1 套，列出代数式即可；
（2）设每件运动服应降价元，根据商场每天要盈利 3150元列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：当每套运动服降价 (是偶数) 元时，商场每天可售出运动服套；
（2）解：设每件运动服应降价元，根据题意得：
，
解得：或30，
扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
，
答：每件运动服应降价30元．
39．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）
(1)设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示）
(2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额；
(3)水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由．
【答案】(1)
(2)每千克售价为 54 元或 56 元时， 每天能获得 9072 元的销售额
(3)不能达到这个 “小目标”，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论；
（2）设售价每千克下降元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设售价每千克下降元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论．
【详解】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克，
故答案为：；
（2）设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
或，
答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额；
（3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：
设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
，
不能达到这个“小目标”．
40．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力，某商家购进了两种类型的吉祥物纪念品，已知每套型纪念品比每套型纪念品的进价多元，套型纪念品与套型纪念品共元．
(1)求、两种类型纪念品的进价；
(2)当型纪念品销售价为每套元时，每天可以售出套，为了促销，该商家决定对型纪念品进行降价销售．经市场调研，若每套的销售价每降低元，则每天的销售量将增加套．设降价后的售价为元，销售量为套，请直接写出关于的函数解析式；
(3)若某天销售型纪念品的利润为元，问此时型纪念品的售价为多少？
【答案】(1)、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元；
(2)
(3)此时型纪念品的售价为元．
【分析】（）、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元，根据题意列方程组即可；
（）根据题意得数量关系列函数解析式即可；
（）设利润为元，得到，当时，转化为解一元二次方程即可；
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，掌握解一元二次方程．
【详解】（1）设、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元，
由题意得：，解得，
答：、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元；
（2）由题意得，，
（3）设利润为元，
由题意得，
当，即，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）
答：此时型纪念品的售价为元．
素材1
某款中央空调每台进价为20000元．
素材2
团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元．
规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决
问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价．
问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价．
问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．