海南省海南中学2024−2025学年高三第八次月考 数学试题（含解析）

这是一份海南省海南中学2024−2025学年高三第八次月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则实数（ ）
A．1B．C．D．
3．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ）
A．120种B．150种C．180种D．300种
6．已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．8B．5C．3D．2
7．记为数列的前项和，若为等比数列，则（ ）
A．64B．32C．16D．8
8．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．-eB．-1C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据为，则它的第70百分位数为7
B．若一组数据的方差为0，则所有数据都相同
C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（参考公式：）
D．已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
10．设等差数列的前项和为，若，且当或6时，取得最大值，则（ ）
A．的公差为2
B．
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数
11．由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．在区间上先增后减
C．的值域为D．在区间上有11个零点
三、填空题
12．已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 .
13．已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为 .
14．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ．
四、解答题
15．已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
16．已知，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点．
（1）求点轨迹的方程；
（2）若过点的直线交轨迹于，两点，求面积的最大值．
17．如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
18．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.
（1）已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值.
（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：小时）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为
①设，证明：；
②元件的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为，已知在某时刻元件A发生故障，和正常工作，求接下来1小时内系统正常运行的概率.
附：若随机变量服从正态分布，则.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得，，所以．
故选B.
2．【答案】C
【详解】由题意得，，
因为，所以，
解得，
故选:C.
3．【答案】D
【详解】设，
则，
则．
故选D.
4．【答案】A
【详解】对于A项，若，则或．
对于B，C，D项，显然成立，
故选:A.
5．【答案】B
【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2．
当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法；
当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法，
所以不同的安排方法有种．
故选:B.
6．【答案】B
【详解】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上.
根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号.
又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5.
故选B
7．【答案】A
【详解】为等比数列，的首项为，第二项为，
第三项为，
的公比为当时，，
显然当时也符合，
．
故选A.
8．【答案】C
【详解】因为，
所以，而，
故，又在定义域上单调递增，则，
于是．
设，则，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以．
故选C.
9．【答案】BD
【详解】对于A，将数据按照从小到大排序为，因为，所以第70百分位数为，故A错误；
对于B，若一组数据的方差为0，则，即，故B正确；
对于C，若原数据的卡方记作，则，
新数据的卡方记作，则，
所以结论可能会发生改变，故C错误；
对于D，依题意，，所以，故D正确.
故选BD.
10．【答案】BCD
【详解】由当或6时，取得最大值知，，即，
因为，所以公差，所以A错误；
又，，
所以，即，故B正确；
记的前10项和为，
当时，解得；当时，解得；当时，解得，
所以
，故C正确；
记，
因为，所以，
因数列为递减数列，则当时，，
由可知为偶数，若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，
所以，且为偶数，故这样的有671个，故D正确.
故选BCD
11．【答案】ACD
【详解】易知“优生成函数”为，
因为，
所以关于直线对称，故A正确；
显然，
所以是函数的周期，
所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，
设，则，
求导得，
故在区间上单调递增，故B错误；
由关于对称及是函数的周期知，
只需考查时的值域，
因为，在区间上单调递增，
故当时，．
当时，，
求导得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故当时，，故C正确；
易知在区间上，零点分别为，故D正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为圆上存在两点关于直线对称，
所以直线过圆心，
从而，解得，
则圆的方程为，
故圆的半径为．
13．【答案】
【详解】设该圆台的高为h，则，解得．
由题意得：上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，
设球心O到下底面的距离为t，即，则，
由勾股定理得：，
即，解得，
则球O的半径，故球O的表面积为.
14．【答案】
【详解】函数的图象关于点中心对称，
不妨设直线AC的方程为，
由，得，
解得或或，
则，
同理可得，
由，得，
即，
即，
即，
令，则这两条直线的斜率之和为．
15．【答案】（1）
（2）9
【详解】（1）由正弦定理及，得，
，
，
．
（2）设的外接圆半径为，
由及正弦定理，
得，
．
由余弦定理得，，
，当且仅当时取等号，，
周长的最大值为9．
16．【答案】（1）
（2）．
【详解】（1）由已知得圆的圆心坐标为，半径，
又在的垂直平分线上，所以，又，则，
所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的轨迹的方程为，则，，
所以的轨迹的方程为．
（2）由已知可得直线斜率不为0，则可设的方程为，
设，，由，，
则由韦达定理得，
所以
，
令，即，
当且仅当，，时取得等号，
即的最大值为．
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）由四边形存在外接圆，得，
而，即，则，即，由平面平面，
得，而平面平面，于是平面，
又平面，所以平面平面.
（2）如图，过点作，垂足为，
由（1）平面平面，又平面平面平面，
得平面，设四边形的面积为S，
则四棱锥的体积，
而，则，又平面平面，
因此，则点在以为直径的圆上，当时，最大，最大值为，
由，得点在以为直径的圆上，且，
当时，取最大值8，此时底面是正方形，四棱锥体积取最大值，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图：可知，
则，设平面的法向量为，
则，取，得，设直线与平面所成角为。
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）0.8186
（2）①证明见解析；②
【详解】（1）解：由电源电压服从正态分布，且的累积分布函数为，
可得，
则.
（2）解：①由题意，可得
，
，
所以.
②由①得，
所以接下来1小时内元件正常工作的概率均为，
为使接下来1小时内系统仍正常工作，元件必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为.
19．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）当时，，，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，恒成立，所以恒成立.
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）取，由（2）得当时，，所以.
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.