2024-2025学年云南省昭通市第一中学高二下学期5月奖学金考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省昭通市第一中学高二下学期5月奖学金考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=x1≤x0，P(B)>0，则事件A，B不互斥
C. 已知随机变量X∼B(n,13)，若E(X)=1，则P(X=2)=29
D. 若随机变量ξ服从正态分布ξ∼N1,σ2，则函数f(x)=P(x≤ξ≤x+2)为偶函数
10.已知数列an满足a1+2a2+4a3+⋯+2n−1an=n⋅2n，an的前n项和为Sn，则( )
A. a1=1B. 数列an为等差数列
C. Sn，S2n，S3n构成等比数列D. 数列1an⋅an+1的前100项和为2551
11.已知函数fn(x)=sinnx+csnx,n∈N∗，则下列说法正确的是( )
A. 若cs2x=35，则f4(x)=1725
B. 当x∈−π2,π2时，函数y=f4(x)与y=sin4x+34的图像恰有5个交点
C. 当n=2k+1,k∈N∗时，函数y=fn(x)的图象关于直线x=π4成轴对称图形
D. 当n=2k,k∈N∗时，记函数f2k(x)的最小值为ak，则k=1nak0,b>0)的离心率为e，若直线2x−y=0与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 .(请用区间表示)
14.6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知acsC−ccsA=b−c．
(1)求角A；
(2)如图，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，求1BD+1CD的取值范围．
16.(本小题15分)
21世纪汽车博览会在上海举行．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
现将这25个汽车模型进行编号．
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求P(B)和P(B∣A)；
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分布列，并求出X的数学期望．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=e2x2+(a+2)ex+2ax+a22．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点0,f(0)处的切线方程；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,AB⊥BC，且AB=BD=2CD=4，侧面PCD是正三角形，侧面PCD⊥底面ABCD，E为PC中点，作EF⊥PB交PB于F．
(1)求证：PB⊥平面DEF；
(2)求平面PBD与平面PBC的夹角的余弦值；
(3)在平面DEF内是否存在点Q.使得QA⋅QB=0，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(−4,0)，且与x轴、y轴分别交于B(x,0)，C(0,y)两个动点．
(1)求点P(x,y)的轨迹Γ的方程；
(2)过A(−4,0)作直线与曲线Γ相交于M，N两点．
(i)E(2,0)，直线EM，EN与曲线Γ的另一个交点分别为D，F，证明直线DF过定点，并求出该定点；
(ii)En(n,0)n=1,2,3,⋯,n∈N∗为点列，直线MEn，NEn与曲线Γ的另一个交点分别为Dn，Fn，若数列S▵MNEnS▵DnEnFn的前n项和为Tn，证明16≤Tn0，则csA=12，又∵A∈0,π，则A=π3．
(2)在▵ABD中，由正弦定理可得ADsinB=BDsin∠BAD，∴1BD=sinBADsinπ6=sinB，
同理▵ACD中，有1CD=sinC，1BD+1CD=sinB+sinC，A=π3， B+C=2π3，
∴sinB+sinC=sinB+sinB+π3= 3sinB+π6，
∵B∈0,2π3，∴sinB+π6∈12,1,∴1BD+1CD∈ 32, 3．
16.(1)由题意得，P(B)=2+325=15，P(A)=8+225=25，P(AB)=225，
则P(B∣A)=P(AB)P(A)=22525=15．
(2)记外观与内饰均同色为事件A1，外观与内饰都异色为事件A2，仅外观或仅内饰同色为事件A3，
则PA1=C82+C22+C122+C32C252=98300=49150，
PA2=C81C31+C121C21C252=48300=425，
PA3=C81C21+C121C31+C81C121+C21C31C252=154300=77150．
∵PA2ln(−a)；令f′(x)