浙江台州2024_2025学年高二下册3月考试数学试卷[附解析]

这是一份浙江台州2024_2025学年高二下册3月考试数学试卷[附解析]，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知 A=xy=x,x∈R ， B=yy=x2,x∈R ，则 A∩B 等于（ ）
A． y∣y⩾0 B． x∣x∈R C． 0,0,1,1 D． ∅
2．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．已知 a,b 是两个单位向量，若向量 a 在向量 b 上的投影向量为 12b ，则向量 a 与向量 a−b 的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
4．已知点 2,0 在圆 x2+y2−2mx+4y+8=0 的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． −∞,3 B． 3,+∞
C． −∞,−2∪2,3 D． −∞,−2∪2,+∞
5．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件 A 为“所抽袋子里有红球”，事件 B 为“所抽袋子里有白球”，事件 C 为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 A 与事件 B 互斥B．事件 A 与事件 B 相互独立
C．事件 A 与事件 B∪C 相互对立D．事件 A 与事件 B∩C 相互独立
6．已知在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中， BM=13BC,AN=2ND ，则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为（ ）
A． 23 B． 21313 C． 37 D． 3913
7．已知定义域为 R 的函数 fx ，其导函数为 f′x ，且 f′x+2fx＜0,f0=1 ,则（ ）
A． f−1＜e2 B． f1＜1e2 C． f12＞1e D． ef1＞f12
8．如图，已知半椭圆 C1:x2a2+y2b2=1x⩾0 与半椭圆 C2:y2b2+x2c2=1x＜0 组成的曲线称为“果圆”，其中 a2=b2+c2,a＞b＞c＞0 .“果圆”与 x 轴的交点分别为 A1,A2 ，与 y 轴的交点分别为 B1,B2 ，点 P 为半椭圆 C2 上一点（不与 A1 重合），若存在 PA1⋅PA2=0 ，则半椭圆 C1 的离心率的取值范围为（ ）
A． 0,23 B． 12,23 C． 12,5−12 D． 5−12,23
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 251 .
B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数.
C．数据2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位数为10.
D．甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为18.
10．已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
11．已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的底面边长为 1,AA1=2 ，点 P,Q 分别满足 A1P=λAB+μAD−AA1,λ,μ∈0,1,CQ=mCC1,m∈0,1 .甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论：
甲：当 m=18 时，存在 λ,μ ，使得 A1P⊥QP ；
乙：当 m=12 时，存在 λ ， μ ，使得 A1P+PQ=23 ；
丙：当 m=78 时，满足 D1P⊥A1Q 的 λ,μ 的关系为 λ=μ ；
丁：当 m=124 时，满足 A1P⊥QP 的点 P 的轨迹长度为 239π .
其中得出正确结论的同学有（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
三、填空题（本大题共3小题）
12．若双曲线 x2m+y2m+1=1 的离心率为3，则 m= ______．
13．已知 Sn , Tn 分别是等差数列 an,bn 的前 n 项和，且 SnTn=2n+14n−2n∈N∗ ，则 a3b4+b7+a8b5+b6= _______
14．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
16．已知椭圆C： x2a2+y2b2=1a＞b＞0 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 12 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求 △AMN 的面积的最大值.
17．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
18．在三棱锥 P−ABC 中， BA⊥BC ， PB⊥ 平面 ABC ，点 E 在平面 ABC 内，且满足平面 PAE⊥ 平面 PBE ， AB=BC=BP=1 ．

(1)求证： AE⊥BE ；
(2)当二面角 E−PA−B 的余弦值为 33 时，求三棱锥 E−PCB 的体积．
19．已知函数.
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【详解】 A=xy=x,x∈R=R ， B=yy=x2,x∈R=yy⩾0 ，
所以 A∩B=y∣y⩾0 ，
故选A.
2．【正确答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选A．
【思路导引】利用分母有理化对进行化简，从而得到共轭复数，代入到计算出结果.
3．【正确答案】B
【详解】因为向量 a 在向量 b 上的投影向量为 12b ， a,b 是两个单位向量，
所以 acsa,b⋅b=12b ，
所以 csa,b=12 ，又 a,b∈0,π ，
所以 a,b=π3 ，
所以 a⋅a−b=a2−a⋅b=1−1×1×12=12 ，
又 a=1，a−b=a−b2=1+1−2×1×1×12=1 ，
所以 csa,a−b=a⋅a−ba⋅a−b=12 ，又 a,a−b∈0,π ，
所以向量 a 与向量 a−b 的夹角为 π3 ，即 60∘ .
故选B.
4．【正确答案】C
【详解】由题设，圆 x−m2+y+22=m2−4 ，则 m2−4＞0 ①，
由点 2,0 在圆外，则有 4−4m+8＞0 ②，
联立①②得： m＜−2 或 2＜m＜3.
所以实数m的取值范围为 −∞,−2∪2,3
故选C.
5．【正确答案】B
【详解】对于A，事件 A 和事件 B 可以同时发生，即抽取丁袋，事件 A 与事件 B 不互斥，A错误；
对于 B，PA=12 ， PB=12 ， PAB=14=PAPB ，事件 A 与事件 B 相互独立，B正确；
对于C，事件 A 与事件 B∪C 可以同时发生，即抽取丁袋，事件 A 与事件 B∪C 不对立，C错误；
对于 D，PA=12 ， PB∩C=14 ， PA∩B∩C=14≠PAPB∩C ，事件 A 与事件 B∩C 不独立，D错误.
故选B.
6．【正确答案】C
【详解】如图，设 AB=a,AC=b,AD=c ，易知 a=b=c=1 ， a,b=b,c=a,c=π3 ，
因为 BM=13BC,AN=2ND ，所以 AM=23a+13b ， CN=23c−b ，
则 AM⋅CN=23a+13b⋅23c−b=49a⋅c−23a⋅b+29b⋅c−13b2=49×csπ3−23×csπ3+29csπ3−13=−13 ，
又 AM2=23a+13b2=49+2×23×13csπ3+19=79 ，得到 AM=73 ，
CN2=23c−b2=49−2×23csπ3+1=79 ，得到 CN=73 ,
设 AM 和 CN 的夹角为 θ ，则 csθ=csAM,CN=AM⋅CNAM⋅CN=1373×73=37 ,
故选C.
7．【正确答案】B
【详解】令 gx=e2xfx ，则 g′x=e2xf′x+2e2xfx=e2xf′x+2fx ，
又 f′x+2fx＜0 ， e2x＞0 ，所以 g′x＜0 ，即 gx=e2xfx 在 −∞,+∞ 上单调递减，
对于选项A，因为 g−1=e−2f−1＞g0=f0=1 ，所以 f−1＞e2 ，故选项A错误，
对于选项B，因为 g0=f0=1＞g1=e2f1 ，所以 f1＜1e2 ，故选项B正确，
对于选项C，因为 g0=f0=1＞g12=ef12 ，所以 f12＜1e ，故选项C错误，
对于选项 D，g12=ef12＞g1=e2f1 ，所以 ef1＜f12 ，故选项D错误，
故选B.
8．【正确答案】D
【详解】
设 Px0,y0,x0∈−c,0 ，
因为 A1−c,0,A2a,0,∴PA1=−c−x0,−y0,PA2=a−x0,−y0 ，
又点 P 为半椭圆 C2 上一点，所以 y02b2+x02c2=1⇒y02=b2−b2x02c2 ，
所以 PA1⋅PA2=−c−x0a−x0+y02=x02+c−ax0−ac+y02
=x02+c−ax0−ac+b2−b2x02c2=c2−b2c2x02+c−ax0−ac+b2 ，
因为存在 PA1⋅PA2=0 ，
所以 c2−b2c2x02+c−ax0−ac+b2=0 ，
即 c2−b2x02+c2c−ax0+−ac+b2c2=0 在 x0∈−c,0 上有解，
因为 c2−b2x02+c2c−ax0+−ac+b2c2=c2−b2x0+−ac+b2cx0+c ，
且 x0∈−c,0 ，
所以 c2−b2x0+−ac+b2c=0 在 x0∈−c,0 上有解，
即 x0=−ac+b2cc2−b2 在 x0∈−c,0 上有解，所以 −c＜−ac+b2cb2−c2＜0
又因为 a2=b2+c2,a＞b＞c＞0 ，
所以 −ac+b2c＜0−ac+b2c＞−cb2−c2⇒a2−ac−c2＜03c2+ac−2a2＜0 ，
即 1−e−e2＜03e2+e−2＜0 ，解得 −1+52＜e＜23 ，
故选D.
9．【正确答案】ACD
【详解】对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，
则每个个体被抽到的概率都是 251 ，故A正确；
对于B，一组数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，故B不正确；
对于C，数据2，4，6，8，10，12，14，16，因为 8×60%=4,8 ，
所以该组数据的第60百分位数是10，故C正确；
对于D，令样本容量为 n ，则 9n=31+2+3 ，解得 n=18 ，故D正确．
故选ACD．
10．【正确答案】ABD
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选ABD.
11．【正确答案】ABD
【详解】以A为坐标原点， AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴､ y 轴､ z 轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，
因为 A1P=AP−AA1=λAB+μAD−AA1,λ,μ∈0,1 ，
可得 AP=λAB+μAD,λ,μ∈0,1 ，所以点 P 为底面 ABCD 内一点（包含边界），
则 A10,0,2,Q1,1,2m,D10,1,2 ，设 Px,y,00⩽x⩽1,0⩽y⩽1 ，
对于甲同学，当 m=18 时， Q1,1,14 ，则 A1P=x,y,−2 ， QP=x−1,y−1,−14 ，
若 A1P⊥QP ，则 xx−1+yy−1+12=0 ，整理得 x−122+y−122=0 ，
得 x=y=12 ，则点 P 存在，此时 λ=μ=12 ，所以存在 λ,μ ，使得 A1P⊥QP ，故选项A正确，
对于乙同学，当 m=12 时， Q1,1,1 ，点 A1 关于平面 ABCD 的对称点为 A′0,0,−2 ，
连接 A′Q,A′P ，则 A′P=A1P ，

所以 A1P+PQ=A′P+PQ⩾A′Q=12+12+32=11 ，
所以存在点 P ，使得 A1P+PQ=23 ，即存在 λ,μ ，使得 A1P+PQ=23 ，故B正确，
对于丙同学，当 m=78 时， Q1,1,74 ，可得 D1P=x,y−1,−2,A1Q=1,1,−14 ，
由 D1P⊥A1Q ，得 x+y−1+−2×−14=0 ，即 x+y=120⩽x⩽1,0⩽y⩽1 ，
所以点 P 的轨迹为 △ABD 中平行于边 BD 的中位线，
当 P 为该中位线的中点时， λ=μ ，当 P 不为该中位线的中点时， λ≠μ ，故C错误；
对于丁同学，当 m=124 时， Q1,1,112 ，
可得 A1P=x,y,−2,QP=x−1,y−1,−112 ，
由 A1P⊥QP ，得 xx−1+yy−1+16=0 ，整理得 x−122+y−122=13 ，
所以点 P 的轨迹为以 H12,12 为圆心， 33 为半径的圆与正方形 ABCD 相交的圆弧，如图2所示，
取 AD 中点 E ，连接 HE,HF ，因为 HE=12,HF=33 ，则 cs∠EHF=1233=32 ，
所以 ∠EHF=π6 ，由圆与正方形的对称性知， ∠FHG=π2−π3=π6 ，
所以 FG⌢=33×π6=3π18 ，故点 P 的轨迹长度为 L=3π18×4=23π9 ，所以选项D正确，

故选ABD.
【点晴】关键点点晴，本题的关键在于利用向量的线性运算 A1P=AP−AA1 ，得 AP=λAB+μAD,λ,μ∈0,1 ，点 P 为底面 ABCD 内一点（包含边界）.
12．【正确答案】 −89
【详解】由题意 m+1＞0＞m ，焦点在 y 轴上，
e2=1+b2a2=1+−mm+1=9,m=−89 .
13．【正确答案】 2138
【详解】因为 an,bn 是等差数列，
所以 a3b4+b7+a8b5+b6=a3+a8b5+b6=a1+a10b1+b10=10a1+a10210b1+b102=S10T10 ，又 SnTn=2n+14n−2n∈N∗ ，
所以 a3b4+b7+a8b5+b6=S10T10=2×10+14×10−2=2138 .
14．【正确答案】.
【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.
【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.
15．【正确答案】(1)
(2)，或
(3)或
【详解】（1）圆心到直线的距离，
所以圆的半径为，
所以.
（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．
直线斜率存在，设直线，
由，得所以切线方程为，或.
（3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
由，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或.
【易错分析】第（2）问与第（3）问需要记得讨论斜率不存在的情况.
16．【正确答案】（1） x216+y212=1 ；（2）18.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为： y−3=12x−2 ，即 x−2y=−4 .
当y=0时，解得 x=−4 ，所以a=4，
椭圆 C:x2a2+y2b2=1a＞b＞0 过点M(2，3)，可得 416+9b2=1 ，
解得b2=12.
所以C的方程： x216+y212=1 .
(2)设与直线AM平行的直线方程为： x−2y=m ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时 △AMN 的面积取得最大值.

联立直线方程 x−2y=m 与椭圆方程 x216+y212=1 ，
可得： 3m+2y2+4y2=48 ，
化简可得： 16y2+12my+3m2−48=0 ，
所以 Δ=144m2−4×163m2−48=0 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： x−2y=8 ，
直线AM方程为： x−2y=−4 ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： d=8+41+4=1255 ，
由两点之间距离公式可得 |AM|=2+42+32=35 .
所以 △AMN 的面积的最大值： 12×35×1255=18 .
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明；
（2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解．
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
而，则或，
即或（舍去），故．
（2）因为是锐角三角形，所以，解得，
所以的取值范围是，
由正弦定理可得：，则，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2) 112
【详解】（1）解：作 BH⊥PE 交 PE 于 H ，
因为平面 PAE⊥ 平面 PBE ，且平面 PAE⊥ 平面 PBE=PE ， BH⊂ 平面 PBE ，
所以 BH⊥ 平面 PAE ，
又因为 AE⊂ 平面 PAE ，所以 BH⊥AE ，
因为 PB⊥ 平面 ABC ，且 AE⊂ 平面 PAE ，所以 PB⊥AE ，
又因为 BH⊥AE ， PB⊥AE ，且 PB,BH⊂ 平面 PBE ， PB∩BH=B ，
所以 AE⊥ 平面 PBE ，
因为 BE⊂ 平面 PBE ，所以 AE⊥BE .
（2）解：以 B 为原点，以 BA,BC,BP 所在的直线分别为 x,y,z ，建立空间直角坐标，
如图所示，则 B0,0,0,P0,0,1,C0,1,0,A1,0,0 ，
设 Ex,y,0 ，因为 AE⊥BE ，所以 AE⋅BE=0 ，
因为 AE=x−1,y,0,BE=x,y,0 ，所以 x−1x+y×y=0 ，即 x−122+y2=14 ，
又由 PA=1,0,−1,AE=x−1,y,0 ，
设平面 PAE 的一个法向量为 n=a,b,c ，则 n⋅PA=a−c=0n⋅AE=ax−1+by=0 ，
取 a=y ，可得 b=1−x,c=y ，所以 n=y,1−x,y ，
又因为 BC=0,1,0 为平面 PAB 的一个法向量，
设二面角 E−PA−B 的平面角为 θ ，
则 csθ=n⋅BCnBC=x−1x−12+2y2×1=33 ，
因为 x−122+y2=14 ，解得 x=1,y=0 （舍去）或 x=12,y=±12 ，
所以点 E12,12,0 或 E12,−12,0 ，
所以三棱锥 E−PCB 的体积为 VE−PCB=13S△PCB⋅ℎ=13×12×1×1×12=112 .

19．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，,
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.