浙江宁波2025届高三高考模拟数学试卷[附解析]

这是一份浙江宁波2025届高三高考模拟数学试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
4．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
5．当，且时，函数与图象的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知直线，（其中），当时，直线与直线的位置关系为（ ）
A．垂直B．平行C．相交D．以上位置关系都有可能
8．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（ ）
A．31B．33C．41D．133
二、多选题
9．设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限
D．若，则的最小值是
10．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ）
A．B．角的最大值为
C．D．的取值范围是
11．已知，若，则下列选项正确的是（ ）
A．有两个极值点B．当时，
C．当时，D．对任意的实数，
三、填空题
12．已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ．
13．已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 ．
14．如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则 ．
四、解答题
15．某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和PM2.5年均浓度（μg/m³）的关系，随机抽取10个城市数据如下：
可得．
（1）求绿化覆盖率与PM2.5浓度的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01），并估计使得PM2.5年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）．
参考数据与公式：
16．已知数列满足：，且．
（1）求的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和．
17．已知直线与双曲线交于两点．
（1）若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围；
（2）若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值．
18．已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点．
（1）若，，求二面角的余弦值；
（2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由．
19．给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜．
（1）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由；
（2）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为，
故选D.
2．【正确答案】D
【详解】因为，故，故，
而在上的投影向量为，
故选D.
3．【正确答案】B
【详解】由正弦函数的最小正周期公式得的最小正周期为，
由正弦函数性质得，故加减运算和开算术平方根不影响周期性，
则函数的最小正周期是，故B正确.
故选B
4．【正确答案】A
【详解】根据题意可取0,1,2，
，，，
所以，
故选A.
5．【正确答案】B
【详解】设,换底公式变形得，
可知，
因为，且，所以，，
所以在单调递增.
且，
函数必有一个零点.
故选:B.
6．【正确答案】A
【详解】因为是等比数列，由可得:
，
故“公比”是“是和有界数列”的充分条件；
反之，若取，则，即此时是和有界数列，
故“公比”不是“是和有界数列”的必要条件.
故选A.
7．【正确答案】C
【详解】直线，（其中），
当时，在直线的同侧，
所以，所以，所以到直线的距离大于到直线的距离，
所以直线与直线不平行，
所以直线与直线相交，
故选C.
8．【正确答案】C
【详解】因为，若，则，所以，
若仅，设，则，
所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下：
1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况；
2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种；
3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种；
4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况；
综上共有，
故选C.
9．【正确答案】AD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，取，，，等式不成立，故B错误；
对于C，设，若对应的点在第二象限，
则，，即对应的点位于第四象限，故C错误；
对于D，若，
则在复平面内复数对应的点到、距离和为常数，且，
则在复平面内复数对应的点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
其中
的最小值就是椭圆上的点到原点的距离最小值，故，故D正确.
故选AD.
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确；
对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角的最大值为，故B正确；
对于C：由有，
利用正弦定理和余弦定理有，同理，所以，故C错误；
对于D：令代入 有，由有
得解得，
所以，由，
所以 ，即的取值范围是，故D正确.
故选ABD.
11．【正确答案】ABD
【详解】，，，，解得或，
当时，，当时，，当时，，
所以为其极小值点，为其极大值点，故A正确；
当时，，，即为在时的取值范围，
又当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，取得最大值，
又，当时，，
所以，故B正确；
当时，，，即，
当时，，单调递减，所以时，取得最大值，
又时，，所以，
所以，故C错误；
对任意的实数，当时，
若，的最大值为，此时；
若，的最大值为，此时；
综上所述，，故D正确.
故选ABD.
12．【正确答案】
【详解】由题意有，所以，
由函数在点处的切线与直线垂直，
所以，所以.
13．【正确答案】
【详解】设患该种疾病为事件，血检呈阳性为事件，依据题意得，，根据条件概率，
得.
14．【正确答案】
【详解】由题意可知，,
设正四面体的棱长为6，则下部分可以看作一个直棱柱两端截去两个体积相同的四棱锥和，如图，
由题可知，,,;
由直棱柱的性质可知,所以的高为，且为四棱锥的高；
,
棱长为6的正四面体高为，其体积为.
所以，所以.
15．【正确答案】（1）;
（2）.
【详解】（1）因，，
故
.
即绿化覆盖率与PM2.5浓度的样本相关系数约为.
（2）因，
则，故，
依题意由，可得，
即使得PM2.5年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为.
16．【正确答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由，即，则为等差数列，
又，则数列的公差为，故.
（2）由题设，则，
故，
所以，记，
所以，
两式相减，得，
所以，
所以.
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时，
若与双曲线交于右支两点，则，解得，
综上可知：
（2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直，
易知四边形为矩形，
若的斜率不存在，由，可设，
代入，可得：，不妨取，
则，渐近线的距离为，
所以，
若的斜率存在，
设直线AB的方程为，
联立方程得，
整理为： ①
故 ②
③
由，
平方得
将式②、③代入得 ④
设，于是， ⑤
. ⑥
因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形，
其面积S等于点P到渐近线距离的乘积，
于是：
将式⑤、⑥代入上式得
由式④代入化简得，因为，
所以且，
所以
综上四边形的面积的最大值为.
18．【正确答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【详解】（1），故以M为原点建立空间直接坐标系，
，，，，
直线与轴平行，所以直线的一个方向向量为，，
，所以，又，
所以就是所二面角求角，
，
所以二面角的余弦值为.
（2）
设，，，，
分别为的中点，，，，又，
，
，
当时，，
当时，，
故无解，
所以不存在点使得同时成立.
19．【正确答案】（1）甲有获胜策略的是不超过的所有实数，理由见解析；
（2）甲有获胜策略的是不超过的所有实数，理由见解析；
【详解】（1），时甲有获胜策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲先选0（选1亦可），乙第一步选择无实际意义，，
甲再选1，若乙将其与0填在同一个绝对值中，甲再选0、1，可使，
若乙将其填在另一个绝对值中，甲再选，则某个绝对值得到，最后一个数甲可以使另一个绝对值为1，此时，
乙有策略使得，
若甲的前两个数相差不超过，乙将其填在同一个绝对值中，这样一个绝对值不超过，另一个绝对值不超过1，从而，
若甲的前两个数相差超过，乙将其填在不同绝对值中，设且，，从而，
甲的第三个数必定满足且，或且，从而乙可以使得一个绝对值不超过，另一个绝对值总不超过1，故乙可以使得，
综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数；
（2），时甲有获胜策略，理由如下：
甲有策略使得，
甲依次选0、1，若乙填在同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，
若乙填在不同绝对值中，甲再选，乙若填在和0或1同一个绝对值中，由的讨论知甲可以使得，若乙填在第三个绝对值中，则，
甲选，若乙放在第一个绝对值中，甲选0、0，则，
若乙放在第二个绝对值中，甲选1、1，则，
若乙放在第三个绝对值中，由的讨论知甲可以使得前两个绝对值之和不小于，故，
乙有策略使得，
若甲的前两个数差不超过，则将数填在同一个绝对值中，甲选了第三个数，
若三个数中有两个数的差不超过，乙将这两个数放在同一个绝对值中，再由的讨论知乙可以使得，
若甲的前三个数两两相差均大于，则乙将三个数填在不同绝对值中，
现假设，，，，
由对称性，不妨设，甲的第四个数为，
情形一：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，，
而前两个绝对值不超过，为；
情形二：若，乙将与放在同一个绝对值中，则，
剩下，由的讨论知乙可以使得剩下两个绝对值之和不超过，从而；
情形三：若，乙将与放在同一个绝对值中，由于，，
剩下，同情形二可知乙可以使得；
最后注意到，上述三种情形包括了的所有可能性（有可能会重叠，此时可以任意选择某个情形），
综上，甲有获胜策略的是不超过的所有实数.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
绿化覆盖率
4
13
16
21
26
31
36
45
52
56
300
PM2.5年均浓度
80
66
58
54
50
46
42
38
34
32
500