四川自贡2023−2024学年高二下册期中考试数学试卷[附解析]

这是一份四川自贡2023−2024学年高二下册期中考试数学试卷[附解析]，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列导数计算错误的是（ ）
A． B．
C．D．
2．命题甲：对任意，有；命题乙：在内是单调递增的，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．1B．2C．D．3
4．中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明．该博物馆收藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类．小胡同学去该馆任意选取四类重要藏品参观，则在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类中至少参观其中一类的不同选择方案的种数是（ ）
A．224B．121C．96D．84
5．已知等比数列的公比为，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．，均有成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）
A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序
D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
10．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值
B．只有一个零点
C．
D．若在上恒成立，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，含的项的系数为 .
13．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．
14．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．求解下列问题．
(1)求值：；
(2)解不等式：；
16．已知函数．
(1)求这个函数的图象在处的切线方程；
(2)若过点的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．
17．已知函数 fx=x3−3ax2+b 在 x=2 处取得极小值-2.
(1)求实数 a,b 的值；
(2)若 ∀x1,x2∈−2,3 ，都有 fx1−fx2＜c 成立，求实数 c 的取值范围.
18．已知等差数列满足，，的前n项和为．
(1)求及的通项公式；
(2)记，求证：．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
答案
1．【正确答案】D
【分析】A选项，利用幂函数的求导法则计算即可；B选项，简单复合函数求导法则计算即可；CD选项，利用求导乘法法则和除法法则计算即可.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选D.
2．【正确答案】A
【分析】在内单调递增等价于 ，由充分、必要条件判断即可得出结果.
【详解】∵在内，则在内单调递增，
反过来，若在内单调递增，则，
∴“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件．
故选．
3．【正确答案】C
【分析】利用导数的定义即可得解.
【详解】依题意，知，
则.
故选C.
4．【正确答案】B
【分析】利用间接法可求得结果.
【详解】从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器这九类中任取四类重要藏品参观，
不同的选法种数为，
其中钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类都不选的选法种数为，
因此满足条件的不同选法种数为.
故选B.
5．【正确答案】C
【分析】利用等比数列下标和性质可得，由等比数列通项公式可求得结果.
【详解】，，.
故选C.
6．【正确答案】C
【分析】设，利用赋值法可判断各选项的正误.
【详解】设，
对于A选项，，A错误；
对于B选项，，
B错误；
对于CD选项，，
所以，，
，C正确，D错误.
故选C.
7．【正确答案】C
【分析】由可排除A，再求导分析单调性可得C正确，BD错误.
【详解】当时，，可排除A，
，
令，解得或，
所以在和上单调递增；在上单调递减；
结合图象可得C正确；
故选C.
8．【正确答案】B
【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围.
【详解】不妨设，
由，得，
即，两边同时除以，得，
令，即，所以函数在区间上单调递减，
，即恒成立，
所以，在上恒成立，函数在区间上单调递减，
所以的最大值为1，
所以.
故选B.
【方法总结】将条件转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立即可.
9．【正确答案】AD
【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断.
【详解】A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，
所以符合题意的方法共有种，故A正确；
B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有种方法，再与其余4个节目全排列，
所以符合题意的方法共有，故B错误；
C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，
所以符合题意的方法有种，故C错误；
D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，
所以不同的选法共种，故D正确.
故选AD.
10．【正确答案】ABC
【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断A、B，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D.
【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故A、B错误；
因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
因为，故D正确.
故选ABC.
11．【正确答案】AB
【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解．
【详解】对于A，函数，，
令，即，解得，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
在时取得极大值，故A正确；
对于B，在上单调递增，，函数在上有唯一零点，
当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确；
对于C，在上单调递减，，，故C错误；
对与D，由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，令，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误．
故选AB.
【方法总结】本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，研究不等式恒成立问题，要利用分离参数法处理恒成立问题，再转化为最值问题.
12．【正确答案】
【分析】由二项式定理写出展开式通项，求含的项即可知其系数.
【详解】由题设，展开式通项公式为，
当时，，
∴含的项的系数为.
故答案为.
13．【正确答案】50
【分析】设三位数的回文数为ABA，先分析A的可能取值，再分析B的取值，然后由分步乘法计数原理求解即可
【详解】设三位数的回文数为ABA，A有1到9，共9种可能，即1B1，2B2，3B3，9B9.
其中奇数共5种可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，A9A.
所以符合题意的有5×10=50个.
故50.
14．【正确答案】
【分析】问题转化为函数的图象与直线有 2 个交点，利用导数研究函数单调性，作出函数图象，数形结合求实数的取值范围.
【详解】方程化为 ，令则问题转化为的图象与直线有 2 个交点，
因为，
当 时，单调递减，
当 时，，单调递增，
所以函数最小值为，且当正向无限趋近于时， 的取值无限趋近于正无穷大； 当无限趋近于正无穷大时， 的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时，.
故答案为.
15．【正确答案】(1)148
(2)
【分析】（1）根据组合数公式求解；
（2）根据排列数公式求解.
【详解】（1）.
（2）由，得，
化简得，解得，①
又，所以，②
由①②及得.
16．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】(1)令，根据导数的几何意义求出，结合和直线的点斜式方程即可求出切线方程；
(2)设切点为，根据导数的几何意义和两点坐标公式求直线斜率，分别求出切线的斜率，列出方程，解方程可得，进而求出斜率，利用直线的点斜式方程即可得出结果.
【详解】（1）令，则，
函数的定义域为，，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为；
（2）设切点为，
由(1)知，，
又直线l的斜率为，
有，解得，
所以，
所以直线l的方程为.
17．【正确答案】(1) a=1 ， b=2 ；
(2) 20,+∞
【分析】（1）根据已知条件可得 f′2=0f2=−2 ，求解即可.
（2）问题等价于 fxmax−fxmin＜c ，利用导数法求得 fx 的最大值和最小值，从而可以求解.
【详解】（1） f′x=3x2−6ax ，
因为函数 fx=x3−3ax2+b 在 x=2 处取得极小值-2，
所以 f′2=0f2=−2 ，即 12−12a=08−12a+b=−2 ，解得 a=1b=2 ．
经检验，当 a=1 ， b=2 时， fx 在 x=2 处取到极小值，
所以 a=1 ， b=2 .
（2）由（1）可知， fx=x3−3x2+2 ，则 f′x=3x2−6x
令 f′x=3x2−6x=0 ，解得 x=0 或 x=2 ，
而 x∈−2,3 ，所以当 −2≤x＜0 ， 2＜x≤3 时， f′x＞0,fx 单调递增；
当 0＜x＜2 时， f′x＜0,fx 单调递减.
又 f−2=−8−12+2=−18,f0=2,f2=8−12+2=−2,f3=27−27+2=2
所以当 x∈−2,3 时， fxmax=2,fxmin=−18 .
若 ∀x1,x2∈−2,3 ，都有 fx1−fx2＜c 成立，
只需 fxmax−fxmin＜c ，所以 c＞20 .
故实数 c 的取值范围为 20,+∞ .
18．【正确答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首项和公差，进而可得通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法可求出，再根据的范围可得的范围，则可证明结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，
；
（2）由（1）得，
，
即.
【方法总结】（2）主要是利用裂项相消法求出，再根据的范围即可证明.
19．【正确答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
【方法总结】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．