[数学][期末]山西省阳泉市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]山西省阳泉市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测试题(解析版)，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，且，则（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】D
【解析】由题意知，所以.
故选：D.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】由题意，所以，
所以z在复平面内对应点为，它在第三象限.
故选：C.
3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互为对立事件B.
C. 与相等D. 与互斥
【答案】B
【解析】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
B选项，，故B正确；
C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．
故选：B．
4. 如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
5. 已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】A
【解析】A：若，，则，故A正确；
B：若，则与可能平行或相交，故B错误；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故D错误.
故选：A.
6. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（ ）
A. 80B. C. 160D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，所以，
又因为，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
7. 给出下列说法，其中正确的是（ ）
A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6
B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20
C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一
D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，
A对；
对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错；
对于C，由方差，
可得，即此组数据众数唯一，C对；
对于D，，
，D对.
故选：ACD.
8. 如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（ ）
A. 线段
B. 该圆台的表面积为
C. 该圆台的体积为
D. 沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5
【答案】ABD
【解析】显然四边形是等腰梯形，，
其高即为圆台的高，
对于A，在等腰梯形中，，A正确；
对于B，圆台的表面积，B正确；
对于C，圆台的体积，C错误；
对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点，
而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又，
在△中，，斜边上的高为，
即与弧相离，所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________．
【答案】
【解析】因为，所以这组样本数据的第60百分位数是.
故答案为：.
10. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
11. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________.
【答案】
【解析】，且，
故，∴.
故答案为：.
12. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．
【答案】
【解析】由已知做出正三棱柱，则，
设点分别为正，正的中心，连接，则，
连接并延长交于于点，则，，
设点为中点，连接CO，
则点为正三棱柱外接球的球心，
且平面，，
因为点为正的中心，所以，
所以，则，
因为平面，所以，
则正三棱柱外接球半径，
所以该球的表面积为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．
13. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的平面角的正切值．
解：（1）由题意知，，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由平面，平面，得，
又平面，
所以平面，由平面，得，
所以为二面角的平面角，
又平面，平面，得，
在中，，所以，
即二面角的平面角的正切值为.
14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（1）求B；
（2）若，且，求的面积的最大值．
解：（1），
由正弦定理得，
即，
，
，又，
所以，即，
又，所以.
（2），
得，即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
即的面积的最大值为.
15. 第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
解：（1）设这人的平均年龄为，
则（岁）.
（2）①：由频率分布直方图可知各组的频率之比为，
第四组应抽取人，记A，，，甲，
第五组抽取人，记为，乙，
对应的样本空间为，，,甲），,乙），，，,甲），
乙），，,甲）,乙），，（甲,乙），（甲,，（乙,，
共15个样本点，
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则,甲），,乙），,甲），,乙），,甲），,乙），（甲,乙），（甲,，（乙,，
共有9个样本点，
所以.
②：设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为；
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.