山东省威海市乳山市2024-2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]

这是一份山东省威海市乳山市2024-2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]，共16页。试卷主要包含了 若函数满足，则， 下列函数的求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 若函数满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【正确答案】C
【分析】根据导数的定义及已知求值即可.
【详解】由题设.
故选：C
2. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解.
【详解】由函数的图像可知，
当时，单调递增，
，，.
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
.
故选：A.
3. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A. 24B. 48C. 144D. 240
【正确答案】C
【分析】由捆绑法结合插空法求解；
【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空，
所以不同的放置方式种数为．
故选：C
4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【正确答案】D
分析】设点，根据题意可得，从而求得.
【详解】设，点，则，
由在点处的切线与直线垂直可得，
即，又，.
故选：D
5. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围；
【详解】令，即得，即方程有三个零点，
即直线与曲线有三个不同的交点，
可得，
所以当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图所示，
所以数形结合可知，即实数的取值范围为,
故选：A
6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将题干问题转化为在区间上恒成立，参变分离得，利用对勾函数单调性求得，即可得解.
【详解】由已知得，
函数在区间上单调递增，
在区间上恒成立．
对于恒成立．
而由对勾函数的单调性可知在区间上单调递减，
．
的取值范围是．
故选：D
7. 已知函数，，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】首先求函数的解析式，再根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式.
【详解】，得，
所以，，，
所以函数在单调递增，
所以，即，即，
即，且，得且.
故选：C
8. 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解.
【详解】根据题意知，即，构造函数，
可得，因为，所以，
所以在上单调递增，
则，两边同乘，即．
故选:B
二､多选题
9. 下列函数的求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案.
【详解】对于A,，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A. 是函数的极值点B. 在区间上单调递增
C. 是函数的最小值点D. 在处切线的斜率小于零
【正确答案】AB
【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
则是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．
故选：AB
11. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有极小值
D. 在区间上有两个零点
【正确答案】BC
【分析】求出函数，再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零点个数判断D.
【详解】依题意，，
对于A，，，所求切线方程为，A错误；
对于B，当时，，在区间上单调递增，B正确；
对于C，在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，，则存在唯一，使得，
当时，；当时，，因此在处取得极小值，C正确；
对于D，由选项C知，在上有唯一零点，又，
当时，，即，，
因此在区间上有1零点，D错误.
故选：BC
三､填空题
12. 方程的解为___________.
【正确答案】1或3（只写一个不得分）
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质列式求解.
【详解】由及组合数的性质，得或，
整理得或，解得或，所以该方程的解为1或3.
故1或3
13. 已知函数在处取得极小值10，则的值为 ___.
【正确答案】
【分析】题意说明，，由此可求得的值．然后代入检验1是极小值点．
【详解】，由题意，
解得或，
若，，不是极值点，舍去．
若时，，
当时，，当或时，，
是极大值点，是极小值点，满足题意．
∴．
故答案为.
14. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______．
【正确答案】
【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围.
【详解】∵，∴，
∵在区间内存在单调递增区间，
∴在上有解，故在上有解，
令，则，
∵，∴，即在上为减函数，
∴，故．
故答案为.
四､解答题
15. 已知函数.
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程；
（2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值.
【小问1详解】
由导数公式得，
设切点坐标为，设切线方程为：
由题意可得： ，
所以或，
从而切线方程为或.
【小问2详解】
由(1)可得：曲线在点处的切线方程为,
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得， 从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意，所以.
16. 已知函数.
（1）若在上不单调，求实数取值范围；
（2）若，求在上的值域.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）三次函数在上不单调，只需导函数判别式大于0即可；
（2）先判断单调性，再结合端点值即可.
【小问1详解】
因为，所以.
因为在上不单调，所以方程有两个不同的根，
则，解得或，
即实数的取值范围是.
【小问2详解】
因为，所以.
由，得或，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
因为，，，
所以在上的值域为.
17. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）讨论函数的单调性；
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可；
（2）求导分与的大小关系讨论即可；
【小问1详解】
，故，又斜率为1，故，解得.
【小问2详解】
因为，故ℎx=−x2+2a+1x−alnxx>0，
则，
当时，，
故在上，单调递增；
在上，单调递减；
当时，令有，且，
故在上，单调递减；
上，单调递增；
在上，单调递减.
当时，在单调递减；
当时，在上，单调递减；
在上，单调递增；
在上，单调递减.
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，和单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在和单调递减，在单调递增.
18. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；
（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.
【正确答案】（1）
（2）80万件
【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可；
（2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可.
【小问1详解】
由题意得，总售价固定为，
当产量不足60万箱时，.
当产量不小于60万箱时，.
则
【小问2详解】
设，
当时，，令，得，
得在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，由基本不等式有
当且仅当，即时取等号；
又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元
19. 已知函数，.
（1）若曲线在处切线过原点，求的值；
（2）若在上最小值为1，求值；
（3）当时，若，都有，求整数的最小值.
【正确答案】（1）
（2）或
（3）1
【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式写出切线方程，根据切线过定点求参数的值.
（2）分情况讨论函数在给定区间上的单调性，利用最小值求参数的值.
（3）设函数，问题转化为在上的最大值不大于0，求参数的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以切点为.
又，所以.
所以函数在处的切线方程为.
因为切线过点，所以.
【小问2详解】
因为，，所以.
若，在上恒成立，
所以在上的最小值为.
若，由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
当即时，在上单调递增，
由（舍去）.
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
由（舍去）.
当即时，在上单调递减，
由.
综上可知：或.
【小问3详解】
当时，，
.
设，
则.
若，则在上恒成立，所以在单调递增，所以不可能恒成立；
若，由；由.
所以在单调递增，在上单调递减.
此时，只需.
设，，则在上恒成立.
所以在单调递减，且，
因为，所以.
所以整数的最小值为1.
方法点睛：第3问中，要证，，需设，只需证在上的最大值非正即可.