江苏省徐州市铜山区2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 Word版含解析含答案解析

这是一份江苏省徐州市铜山区2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 Word版含解析含答案解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．4D．5
4．在平行四边形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数的最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
8．记的面积为，角的对边分别为，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
二、多选题
9．在复数范围内，下列命题正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数B．若，则
C．若，则的最大值为3D．若，则
10．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点为对称
B．在区间单调递增
C．与的图象有相同的对称轴
D．与的图象在上有两个不同的交点
11．如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．的最大值为5
D．若，则当三点共线时，
三、填空题
12．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则 ．
13．若，则 ．
14．在等腰中，，在内一点满足，则的值为 ．
四、解答题
15．（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
16．已知．
(1)求的值；
(2)求的大小．
17．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，的周长为9，点是边的中点，求线段的长．
18．如图，某学校有一块边长为的正方形实验田用地，在此正方形的边、上分别取点、（均不与正方形的顶点重合），用栅栏连接、、，设，，.

(1)当，时，求所用栅栏的总长度；
(2)当时，在内的区域种植蔬菜，求种植蔬菜的区域面积的最小值；
19．由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示；
(2)求的值；
(3)已知方程在上有三个根，记为且，求证：．
1．D
由两角和的正弦公式求解即可.
【详解】
.
故选：D.
2．A
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而得答案．
【详解】,
,
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选A．
3．B
【详解】因为，
所以，
因为三点共线，必存在一个实数，使得，
所以，而不共线，
所以，解得：.
故选：B.
4．C
【详解】如下图所示：
在平行四边形中，，，则，，
故.
故选：C.
5．C
利用三角恒等变换化简各选项中函数的解析式，再结合三角函数的周期公式逐项判断即可.
【详解】对于A选项，，该函数的最小正周期为，A不满足要求；
对于B选项，，
该函数的最小正周期为，B不满足要求；
对于C选项，，
该函数的最小正周期为，C满足要求；
对于D选项，，
该函数的最小正周期为，D不满足要求.
故选：C.
6．B
由确定，根据正弦函数的零点列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由，可得，
由于函数在上有且只有一个零点，
故，解得，
故选：B
7．D
利用同角三角函数关系求出，根据两角和正弦公式结合题意求出，继而求得，再利用二倍角公式即可求得答案.
【详解】由于为锐角，则
由，得，
即，结合，
可得，
故，
故，
故选：D
8．C
由余弦定理和三角形的面积公式可得，分别求出两部分的值域知，即可知的形状.
【详解】由余弦定理可知：，
所以，
所以，
所以，
因为，当且仅当时取等，
又因为的最大值为，
所以此时，
所以，此时，
所以的形状是钝角三角形.
故选：C.
9．BC
取特值可判断AD；设，，由可得或，由此可判断B；由复数模的几何意义可判断C.
【详解】对于A，若，设，，，
所以，
若，，则，不为纯虚数，故A错误；
对于B，设，，则，
若，则，，解得：，即或，
所以，故B正确，
对于C，表示复数在复平面上对应的点到的距离为，
即以为圆心，为半径的圆，表示点到原点的距离，
圆心到原点的距离为，所以的最大值为，故C正确；
对于D，取，，，，
满足，但，故D错误.
故选：BC.
10．ABD
计算可判断A；求出的单调递增区间可判断B；求出与的对称轴可判断C；画出画出与在的图象可判断D.
【详解】对于A，因为，
故的图象关于点为对称，故A正确；
对于B，令，，
所以，，
令，则，而，故B正确；
对于C，令，解得：，
的对称轴为，
令，解得：，
的对称轴为，
令，则，
则，故与的图象没有相同的对称轴，故C错误；
对于D，画出与在的图象，如下图，
可知与的图象在上有两个不同的交点，故D正确.
令
故选：ABD.
11．ACD
由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由A知，，
，故B错误；
对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，设，
所以，
当时，的最大值为5，故C正确；
对于D，当三点共线时，，
，所以，
又因为，所以，
所以，所以，故D正确.

故选：ACD.
12．1
确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案.
【详解】由题意知是关于的方程的一个根，
则是该方程的另一个根，则，
即，则，
故答案为：1
13．
利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】.
故答案为：.
14．/
利用余弦定理求出，继而利用三角形相似求出,设，，在和中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求出t的值，即可求得答案.
【详解】在等腰中，,
则，
即，设，则；
，结合知,
可得，则∽，
故，而，，
故,
设，在和中，利用余弦定理可得：
，,
即，，
两式相减，则，
在中，利用余弦定理可得：,
即，
即得，则，
故答案为：
15．（1）；（2）．
（1）先求出，，再由平行向量的坐标表示求出，再由模长公式求解即可；
（2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案.
【详解】（1）因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
16．(1)
(2)．
（1）由同角三角函数的基本关系求出、，从而求出、，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）首先求出，再由及两角和的正弦公式计算可得.
【详解】（1）因为，所以，解得（负值舍去）；
所以，
所以．
（2）因为，所以，
又因为，所以，
所以
，
又因为，所以．
17．(1)．
(2)．
（1）由正弦定理结合两角和的正弦定理可得，即可求出答案；
（2）由点是的中点可得，对其两边平方则，再由余弦定理可得，两式联立结合的周长，即可求出，进而求出线段的长．
【详解】（1）因为，
由正弦定理得
所以，即，
又因为，所以．
（2）因为点是的中点，所以，
所以
在中，
由余弦定理得，
所以，
所以
又因为的周长为，所以
所以，所以，所以，
所以，所以．
18．(1)米
(2)平方米
（1）在、中，分别求出、的长，然后在中利用余弦定理求出的长，可求出的周长，即为所求；
（2）求得，，利用三角形的面积公式得出，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质求出的最大值，即可得出面积的最小值.
【详解】（1）因为，，则，
在中，，
因为，
在中，，
所以在中由余弦定理得
所以，
所以，
所以栅栏总长度为米．
（2）在中，，在中，，
所以的面积，
，
因为，所以，
当即时，取得最大值，
此时的面积的最小值为，
所以植蔬菜的区域面积的最小值为平方米．
19．(1)
(2)．
(3)证明见解析
（1）利用二倍角的正弦和余弦公式可证明三倍角公式；
（2）利用（1）的结果可得，故可求的值；
（3）令，结合（1）中恒等式对方程变形可得，故可求原方程的解，结合三角变换公式可证.
【详解】（1）
（2）由（1）得，
而，所以，
所以，即，
所以．
（3）因为，所以
令，因为，所以，取
所以，
由（1），得
又因为，所以
所以，
所以
所以
.
故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
C
B
D
C
BC
ABD
题号
11









答案
ACD