吉林省辽源市田家炳高中五校2023−2024学年高二下学期7月期末联考（第七十七届） 数学试题（含解析）

这是一份吉林省辽源市田家炳高中五校2023−2024学年高二下学期7月期末联考（第七十七届） 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有( )
2．若函数的图象在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．C．D．
3．某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（ ）
A．0.25B．0.35C．0.65D．0.75
4．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（ ）
A．B．C．D．
5．随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
7．已知函数的导函数为，，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．，
C．D．
8．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为0
C．常数项为
D．系数最大的项为第3项
10．随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（ ）
A．A发生的概率为0.6B．B发生且A不发生的概率为0.2
C．A或B发生的概率为0.9D．A与B同时发生的概率0.2
11．已知变量之间的线性经验回归方程为，且变量之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．变量之间成负相关关系B．可以预测，当时，
C．D．该经验回归直线必过点
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的常数项为 .
13．3个班分别从5个景点中选择一处游览，共有 种不同的选法（填数字）．
14．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2 相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)若函数在点处的切线平行于轴，求的值；
(2)求函数的极值．
16．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
17．某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.
(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率；
(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望､和方差､，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.
18．已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
19．为了研究某果园的一种果树的产量与种植密度的关系，某中学的数学兴趣小组在该果园选取了一块种植区域进行了统计调查，他们将每株果树与其直线距离不超过1米的果树株数x记为其密度，在记录了该种植区域内每株果树的密度后，从中选取密度为0，1，2，3，4的果树，统计其产量的平均值y（单位：kg），得到如下统计表：
(1)小组成员甲认为y与x有很强的线性相关关系，请你帮他利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)小组成员乙提出：若利用回归方程计算的平均产量的估计值与实际的平均产量（，）满足：，则应该修正模型，寻找更合适的函数拟合x与y的关系．统计知种植密度分别为5，6的果树的平均产量为5.5kg、4.4kg，请你以这七组数据为依据判断（1）得到的回归方程是否需要修正？
参考公式：，．
参考答案
1．【答案】 C
【详解】 分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．
2．【答案】A
【分析】对函数求导，进而求出，由导数的几何意义，构造方程解.
【详解】由函数得，
，所以，
直线的斜率，
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
由导数的几何意义得，即，所以.
故选A.
3．【答案】C
【分析】根据相互独立事件的概率计算公式和对立事件的概率，即可求解.
【详解】根据相互独立事件的概率计算公式，可得：
他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为，
所以不下雨的概率为.
故选C.
4．【答案】C
【分析】由条件确定该同学答对题目数量的分布列，再由二项分布的期望和方差公式求随机变量的期望及方差.
【详解】设该同学答对题目数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，
所以，
所以，，
故选C.
5．【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性得出，的值，从而得出答案．
【详解】随机变量，，
，，
，
故选D．
6．【答案】B
【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.
【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.
故选B.
【关键点拨】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力.
7．【答案】C
【分析】求出导函数，令求出确定，然后在函数定义域内确定的解即可．
【详解】由得，所以，，
，
因为，所以由得，
故选C．
8．【答案】B
【分析】根据多项式乘法原理和二项式定理即可求解.
【详解】∵，
故展开式中的系数.
故选B.
9．【答案】BC
【分析】原二项式可化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.
【详解】，可得二项式系数和为，故A错误；
令得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项，故C正确；
，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.
故选BC.
10．【答案】BD
【分析】根据相互独立事件概率的知识求得正确答案.
【详解】依题意A与B互相独立，
，，
所以，A选项错误，，
所以，B选项正确，
A或B发生的概率为，C选项错误，
，D选项正确.
故选BD.
11．【答案】AB
【分析】根据回归方程判断A、B；求出、，根据回归方程必过样本中心点求出，即可判断C、D.
【详解】由，，得变量之间成负相关关系，故A正确；
当时，，故B正确；
由表格数据可知，
则，解得，故C错误；
由，得，所以该经验回归直线必过点，故D错误．
故选AB.
12．【答案】
【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
13．【答案】125
【分析】利用乘法分步原理求解.
【详解】每个班从5个景点中选择一处浏览，有5种选法，
3个班分别从5个景点中选择一处游览，根据乘法分步原理共有种.
故答案为：125.
14．【答案】576
【详解】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有种结果，这三个元素形成四个空，把7和8 在这四个位置排列有种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列，根据分步计数原理得到这种数字的总数有.
故答案为：576．
【方法总结】相邻问题一般采用捆绑法，应用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的元素内部的顺序．不相邻问题一般采用插空法．
15．【答案】(1)
(2)当时无极值；当时在处取得极小值，无极大值．
【分析】（1）求出，由导数的几何意义有，即可求a的值；
（2）分类讨论a判断的符号，从而确定的单调性，即可得极大值或极小值；
【详解】（1）由题设，又曲线在处的切线平行于轴，
所以，解得．
（2）①当时，在上为增函数，所以无极值．
②当时，令，得：，可得．
所以上；上．
则在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，无极大值．
综上，当时无极值；当时在处取得极小值，无极大值．
16．【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，
(2)有
【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.
【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
17．【答案】(1)
(2)，，，，派李明代表该班参加竞赛更好
【分析】（1）根据超几何分布和二项分布概率公式分别计算李明和王华回答问题正确的个数为的概率，由独立事件概率乘法公式可求得结果；
（2）根据超几何分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此可计算得到；根据二项分布期望和方差计算公式可求得，根据，可得结论.
【详解】（1）李明回答问题正确的个数为的概率；
王华回答问题正确的个数为的概率；
李明和王华回答问题正确的个数均为的概率.
（2）由题意知：李明回答问题正确个数所有可能的取值为，
，，
，；
王华回答问题正确的个数，
，；
，，派李明代表该班参加竞赛更好.
18．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调区间；
（2）对原不等式整理化简得到，将整体代换，并构造函数求解的取值范围，通过整体代换，构造新函数，利用导数求解函数的极值，结合的取值范围，即可证明.
【详解】（1）由题意可得．
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由题得，时，对任意的，都有，即，
等价于，即.
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，当且仅当时，等号成立．
设，则．
由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以有解，
则，当且仅当时，等号成立．
即，即．
【方法总结】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19．【答案】(1)
(2)不需修正
【分析】（1）由已知数据利用最小二乘法的公式可求得线性回归方程；
（2）代入所求得线性回归方程，计算可得结论.
【详解】（1） ，，，
故，
所以得线性回归方程为：；
（2）令，代入，分别得，
从而，故不需修正．A．3种
B．6种
C．7种
D．9种
6
8
10
12
6
3
2
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
x
0
1
2
3
4
y
15
12
11
9
8
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500