河北省沧州市泊头市交河中学2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省沧州市泊头市交河中学2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合 ，则
A．B．C．D．
2．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.5D．0.8
3．已知函数，其中，则之间的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．为了研究某产品的年研发费用 (单位: 万元) 对年利润 (单位: 万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 . 已知 . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元， 则预测年利润为（ ）
A．55 万元B．57 万元C．60 万元D．62 万元
5．已知正实数 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（ ）
A．7种B．8种C．12种D．14种
7．已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ）
A．45B．C．90D．
8．存在三个实数，使其分别满足下述两个等式：
（1） （2）
其中M表示三个实数中的最小值，则（ ）
A．M的最大值是B．M的最大值是
C．M的最小值是D．M的最小值是
二、多选题
9．对于 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有 5 项B．展开式的各项系数之和为
C．展开式中的常数项是 15D．展开式的各二项式系数之和为 32
10．甲和乙两个箱子中各装有 10 个球， 其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球， 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子， 若点数为 5 或 6 ， 则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回; 若点数为 ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（ ）
A．掷骰子一次，摸出的是红球的概率为
B．掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为
C．掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为
D．掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为
11．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
三、填空题
12．已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
若，则 .
13．已知随机变量，且，则 ．
14．如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 ， .
四、解答题
15．某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：
(1)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?
(2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
16．已知函数是奇函数.
（1）求；
（2）求不等式 的解集.
17．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
(1)若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
(2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
18．据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品销售额（单位：亿元）的10年数据如下表所示：
依据表格数据，得到下面一些统计量的值.
(1)根据表中数据，得到样本相关系数.以此推断，与的线性相关程度是否很强？
(2)根据统计量的值与样本相关系数，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(3)根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点对应的残差（精确到0.01）；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，的值将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断即可）.
附：样本的相关系数，
，，.
19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
（1）若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
（2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
，
则.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因随机变量服从正态分布,.
所以，.
所以.
故选B.
3．【答案】B
【详解】因为，
所以，
，
因为是上的单调递减函数，
是上的单调递增函数，
所以是上的单调递减函数，
所以.
故选B.
4．【答案】A
【详解】，

.
关于的经验回归方程为.
故当时，.
故选:A.
5．【答案】B
【详解】若，取，，则，即不能推出，故充分性错误；
若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是，
所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件.
故选B
6．【答案】A
【详解】先把名学生分成组，
第一种情况组人数分别为、，
由于甲不去A乡村，所以从另外3人中选一人和甲一起去B村，有种，
第二种情况组人数分别为、，
则可能甲单独去B村，或者甲与另外人去B村，有种，
故共有种.
故选A.
7．【答案】A
【详解】因为为偶函数，所以，
即函数的图象关于直线对称，
又函数的图象关于直线对称，
所以函数与图象的交点关于直线对称，
由交点有9个，故两函数必都过点，即.
故选A
8．【答案】B
【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数，
设，，则，
因为，所以，
所以，即，
所以，由得，，即，
所以，
故选B．
9．【答案】BD
【详解】对于A，，故展开式共有6项，A错误，
对于B，令，则，B正确，
对于C，展开式中的通项是，令，则，故常数项为，C错误，
对于D，展开式的二项式系数和为，D正确，
故选BD
10．【答案】BCD
【详解】对于A，掷骰子一次，从甲箱摸球的概率为，从甲箱子中摸出红球的概率为，从乙箱摸球的概率为，从乙箱子中摸出红球的概率为，
掷骰子一次，摸出的是红球的概率为，故A错误；
对于B，掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为，B正确；
对于C，掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为，故C正确；
对于D，掷骰子两次，摸出 2 个红球包含三种情况，
掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为；
掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自乙箱的概率为
掷骰子两次，摸出的 2 个球来自甲、乙两个箱的概率为,
掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为 ，D正确；
故选BCD.
11．【答案】CD
【详解】作出函数的图象，如图所示：

对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A不正确；
对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以,，故B不正确；
对于C，则题意可知：，，所以，所以,，故C正确；
对于D，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．
故选CD．
12．【答案】
【详解】因为,①
且,②，
所以①②可得，.
13．【答案】12
【详解】因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
14．【答案】
【详解】由题可知，在1步后蚂蚁位于、、、点的概率分别为0，，，
故经过 2 步回到点 的概率，
，，
数列是公比为的等比数列，
又，，即.
15．【答案】(1)阅读达标情况与性别有关联；
(2)分布列见详解，
【分析】（1）计算，根据小概率值作出结论；
（2）由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.
【详解】（1）零假设为：阅读达标情况与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为阅读达标情况与性别有关联.
（2）由题可知抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，
则的可能取值为，
，，，
所以的分布列如下：
故.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以的定义域为，
函数是奇函数，所以，
解得，可得，
当时，
，
所以是奇函数，故；
（2）因为是奇函数，所以，
由得，
可得，解得，
即，可得，
解得，
所以不等式的解集为.
17．【答案】(1)
(2)选
【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，求出概率，当时，分情况分析，求出概率，再比较大小.
【详解】（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获得奖励的概率，
当时，甲获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获得奖励的概率
，
因为，即，
所以甲应选.
18．【答案】(1)线性相关程度很强
(2)
(3)，变小
【分析】（1）根据样本相关系数，进得推断即可；
（2）由可求得，由求得，即可得线性回归方程；
（3）第一个样本点的残差为：，计算即可；由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，的值将变小.
【详解】（1）根据样本相关系数，可以推断线性相关程度很强.
（2）由及，
可得，
所以，
又因为，
所以，
所以与的线性回归方程.
（3）第一个样本点的残差为：，
由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，的值将变小.
19．【答案】（1）（i）分布列见解析，期望为；（ii）；
（2）.
【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
所以的分布列为：
的数学期望为
（ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，
且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞，
记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”，
则两两互斥，，
而，
因此，
所以事件 “” 的概率为.
（2）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
因此
，
（），
由全概率公式得，
于是的期望
，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
又，所以，即的期望为.1
2
3
阅读达标
阅读不达标
合计
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合计
110
90
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
居民年收入
32.2
31.1
32.9
35.7
37.1
38.0
39.0
43.0
44.6
46.0
商品销售额
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0
379.6
391
247.624
568.9
0
1
2
1
2
3
4