山东省烟台市烟台第三中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省烟台市烟台第三中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若单位向量满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
6．如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）

A．B．C．D．
7．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
8．已知a，b，c是的三边，若满足，即，为直角三角形.类比此结论：若满足时，的形状为（ ）.
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若是两个单位向量，且，则
10．在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则为锐角三角形
C．若，则
D．若，则为钝角三角形
11．已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则动点的轨迹经过的内心
B．若O为平面内任意一点，，则点为的重心
C．若为的垂心，，则
D．若为锐角的外心，且，则
三、填空题
12．已知向量，，则的最大值为 ．
13．化简的值为 ．
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，若，且，则的值为 .
四、解答题
15．在直角坐标系中，已知点，，，其中．
（1）若，求的值；
（2）设点，求的最大值．
16．已知向量，．
（1）若向量与垂直，求k的值；
（2）若向量，、对应的点分别是A、B、C，且三点共线，求k的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．
17．已知在中，．
（1）求的大小；
（2）若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长．
18．已知向量，，函数．
（1）求的解析式和当时在方向上的投影向量；
（2）已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长；
（3）若，，求．
19．法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”，如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，其中，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.

(1)求角；
(2)求周长的最大值；
(3)若的面积为，求的面积.
参考答案
1．【答案】A
【详解】解：因为，由正弦定理，
即，解得.
故选A
2．【答案】D
【详解】解：∵，∴，
故选D
3．【答案】D
【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底；
对于B选项，，所以共线，不能作为基底；
对于C选项，，所以共线，不能作为基底；
对于D选项，易知不共线，可以作为基底.
故选D.
4．【答案】A
【解析】将平方可得，再利用向量夹角公式可求出.
【详解】是单位向量，，
，，即，
即，解得，
则向量夹角的余弦值为.
故选A.
5．【答案】D
【详解】在中，由及正弦定理，得，
则，而，
因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选D
6．【答案】A
【详解】由题意在中，，点是的中点，
故
，
故选A
7．【答案】B
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选B
8．【答案】A
【详解】易知角最大，故,
由
，
故为锐角三角形，
故选A.
9．【答案】CD
【详解】对于A中，若，则与的方向相同或相反，所以A正确；
对于B中，由为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，因为，所以与共线，所以B正确；
对于C中，当，且为非零向量时，此时不存在，所以C错误；
对于D中，由，可得，
所以，所以D错误．
故选CD．
10．【答案】ACD
【详解】对于A，在中，作于D，
则,即，即，A正确；
对于B，由得，
结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小，
故不能确定为锐角三角形，B错误；
对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确；
对于D，若，由于，则A为锐角；
若B为锐角，则，可得，则，
故为钝角三角形；
若B为钝角，则，可得，则，适合题意，
此时为钝角三角形；
综合以上可知为钝角三角形，D正确，
故选ACD
11．【答案】BCD
【详解】对于A选项，设中点为，如图，
则，，
所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确；
对于B选项，，
可得 ，即，所以点为的重心,故B正确；
对于C选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于D选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，如图，
又因为，所以垂直平分，故，正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
所以
，
又，所以，
所以当，即时，取得最大值且.
13．【答案】
【详解】
.
14．【答案】/
【详解】解：中，，
所以，
因为，
所以，解得；
所以，
因为为三角形内角，
所以
所以.
15．【答案】（1）；
（2）4.
【详解】（1）依题意，，
由，得，所以.
（2）依题意，，
因此，
当时，，因此当时，取得最大值，
所以的最大值为4.
16．【答案】（1）；
（2）或；
（3）.
【详解】（1）依题意，，，
由向量与垂直，得，
所以．
（2）依题意，，，由（1）得，
，由共线，得，
则，解得或，
所以或.
（3）由（1），，
由向量与的夹角为锐角，得，且与不共线，
则且，解得且，
所以k的取值范围是.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）因为，，
由余弦定理得，
即，解得.
为角的角平分线，，
∵，
∴，
∴，得.
18．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
所以
所以
，
，
所以；
当时，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为；
（2）因为，所以，
又，所以，所以，则，
由余弦定理，又，，
所以
设的边上的中线为，则，
所以
，
所以，所以的边上的中线长为；
（3）因为，可得，
即，又，则，
所以，
所以.
19．【答案】(1)；
(2)9；
(3).
【详解】（1），则，
故，所以，
可得（负值舍），由，∴；
（2）由（1）知，
则，
即，
即，
∴，当且仅当时取等号，
∴最大值为6，
∴周长的最大值为9；
（3）如图，连接，由正弦定理得 ，,则，

正面积，
而，则，
在中，由余弦定理得，
即，则，
在中，，由余弦定理得，
则，
所以的面积为.