山东省菏泽鲁西新区德能高级中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析）

这是一份山东省菏泽鲁西新区德能高级中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．的虚部为B．
C．D．
3．定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
5．平面向量与向量满足,且，,则向量与的夹角为
A．B．C．D．
6．已知，，满足，，，则点依次是的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，重心，内心
7．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．若，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知a，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部是B．
C．D．z对应的点在第二象限
10．下列命题错误的有（ ）
A．若非零向量与平行，则四点共线
B．若满足且与同向，则
C．若，则的充要条件是
D．若，则存在唯一实数使得
11．中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则面积的最大值为
C．不可能为锐角三角形
D．若为的外心，则
三、填空题
12．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 .
13．已知平面向量，若，则 .
14．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．已知复数为虚数单位.
（1）求和；
（2）若复数是关于的方程的一个根（其中），求的值.
17．三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M.
（1）求角B的大小;
（2）若，求的值；
（3）若点G是三角形的重心，求 的最小值.
18．如图，在平面四边形中，．
（1）若，求；
（2）若，求四边形的面积．
19．在中，内角所对的边分别为，
（1）求角的值;
（2）若的面积，且，求；
（3）求 的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误；
对于B，因为，且向量的模为，故B正确；
对于C，因为向量的模为，故C错误；
对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误.
故选B.
2．【答案】C
【详解】由已知可得的虚部为，故错误；
，故错误；
，故正确；
虚部不为0的复数不能比较大小，故错误.
故选C.
3．【答案】C
【详解】由题中所给定义可知，
，
当时，，
所以，所以，
当时，，，
所以，解得；
当时，，，，
所以，解得，
综上，a的取值范围是．
故选C.
4．【答案】A
【详解】在中，因为，且，
所以，由正弦定理得，
所以，即，
又，则，则，
所以，所以该三角形为等腰三角形.
故选A
5．【答案】C
【详解】，则
又
，解得
设向量与的夹角为，
则，即
解得
，
，
故选
6．【答案】C
【详解】依题意，由得，到的三个顶点的距离相等，所以为外心；
设的中点为，则由得，所以为重心；
由得，
所以，同理可得，所以为垂心．
故选C
7．【答案】D
【详解】由，可得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选D．
8．【答案】A
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，，，即，时等号成立，
所以的最大值为．
故选A.
9．【答案】BC
【详解】由复数相等可得解得所以，
对于A，的虚部是2，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，对应的点在虚轴上，故D错误.
故选BC
10．【答案】ABD
【详解】对于A，若非零向量与平行，则四点可能共线，
也可能是，此时不共线，A错误；
对于B，由于向量是既有大小又有方向的量，故向量是不能比较大小的，B错误；
对于C，由于，则，故可得，反之也成立，C正确；
对于D，若，则不存在实数使得，D错误.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】对A，因为，由正弦定理可得，
即，即，且，所以，故A错误；
对B，因为，则，由余弦定理可得
，即，当且仅当时，等号成立，
则面积的最大值为，故B正确；
对C，当时，为锐角三角形，故C错误；

对D，如图，作交于点，则点为的中点，且，
设，则，
所以，故D正确；
故选BD
12．【答案】
【详解】依题意可得，
若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向，
所以，解得；
当两向量方向相反时可得，且，解得；
因此可得或；
即实数的取值范围为.
13．【答案】1
【详解】因为，所以，
因为，所以，解得．
14．【答案】
【详解】因为，则，整理得，
由正弦定理得，
则，且，则，所以，可得，
又由点为的费马点，可得,
设，
由，可得，
由余弦定理得
，
，
因为，即，
可得，且，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为，则，解得或（舍去），
所以实数的取值范围为.
15．【答案】（1）
（2）存在，
【详解】（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）
（2）复数是关于的方程的一个根，
，
，
解得
17．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以.
（2）如图，
由题意可得，
因为三点共线，故可设 ，
又因三点共线，故，
所以，故.
（3）因为
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即.
所以的最小值为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）连接，在中，，
且，，所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
所以
（2）在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以四边形的面积为
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由，
结合正弦定理边化角可得：,
由两角和的正弦展开化简可得：，
又为三角形内角，，
所以，又为三角形内角，
所以 ，
（2）由，，
，
所以，
，
所以
（3）由，可得，
所以，
由（1），
所以