四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共4页。
注意事项：
1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存.
2.选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效.
4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.
第Ⅰ 卷 选择题 (58分)
一，选择题。(1~8题每题5分，每题只有一个正确选项，9~11题每题6分，每道题有多个正确选项，如果都选正确则给6分，若有错误的给0分，选对但不全得部分分)
1. 若集合A={1, 2, 3}, B={(x, y) |x+y-4>0, x, y∈A}, 则集合B的真子集个数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2. 已知向量 a=x1-x,b=x+39,若 a⊥b,则 ( )
A. x=-2 B.x=-12 C. x=3 D.x=72
3.已知 a=2-13是直线l的方向向量， b=m2-1是平面α的法向量,若l∥α,则m=( )
A. -4 B.-52 C. 52 D. 4
4. 已知等差数列{an}和{bₙ}的前 n项和分别为 Sₙ和 Tₙ, 且 SnTn=n+33n+5,则 a5b2+b6=
A.1417 B.417 C.313 D. 15
5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是( )
A. 8 B. 12 C. 18 D. 72
6. 某公司对员工的工作绩效进行评估,得到一组数据x₁, x₂, x₃, …, x9,后来复查数据时, 又将x₃, x9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是( )
A.平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数
7. 抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行反射镜(|x|²)²σ²于x轴的入射光线与抛物线 y=2px的交点为A(4，4)，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 ( )
A.274 B.214 C.254 D.294
8. 函数 fx=x²-cs3πx的零点个数是( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
9. 如图, 正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则下列说法正确的是 ( )
A. 直线D₁C和 BC₁所成的角为 π4
B. 四面体 BDC₁A₁的体积是 83
C. 点 A₁到平面 BDC₁的距离为 433
D. 平面 BDA₁与平面 BDC₁所成二面角的正弦值为 223
10.在同一平面直角坐标系中，直线mx-y+1=0与圆 x²+y²=2的位置可能为( )
11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为 Y，则下列结论中正确的是( )
A.X服从超几何分布 B.X服从二项分布
C.pX=2=116 D. 若 Y=2X+1, 则 E(Y) =5
二、填空题。(每题5分,共15分)
12. 已知函数 fx=lg2x,x>014x-1,x≤0,则 ff22= .
13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法.
14. 若不等式1+lnx≤ax²+bx(a>0)恒成立，则ba的最小值为 .
三,解答题(15题13分, 16~17题每题15分, 18~19题每题17分, 共77分)
15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象. 某海滨浴场内水位y(单位: m) 是时间 t(0≤t≤24,单位: h)的函数, 记作 y=f(t),下面是某天水深的数据：
经长期观察, y=f(t) 的曲线可近似的满足函数y=Asin(ωx+φ) +b(A>0, ω>0).
(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数y=f(t)一个近似表达式；
(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放?
16. 在三棱台 DEF-ABC中, CF⊥平面ABC, AB⊥BC, 且BA=BC, AC=2DF, M为AC的中点, P是CF上一点,且 CFDF=MCCP=λ(λ>1).
(1) 求证: CD⊥平面 PBM;
(2) 已知CP=1，且直线BC与平面 PBM的所成角的正弦值为 66时，求平面 EFM与平面 PBM所成夹角的余弦值.
17.3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座(每个讲座被选择是等可能的).
(1)记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
( 2) 对 于 两 个 不 相互 独立 的事件 M, N, 若 P (M) >0, P (N) >0, 称 ρMN=PMN-PMPNPMPMPN为事件M，N的相关系数.
①已知ρ (M, N) >0, 证明P(M|N) >P(M);
②记事件 E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E,F是否独立,若独立,说明理由;若不独立,求p(E,F).
18.已知点O为坐标原点，将向量 OA绕 O逆时针旋转角α后得到向量 OB.
(1) 若 OA=22,a=π6, 求 OB的坐标；
(2)若 OA=ab,求 OB的坐标(用 a, b,α表示);
(3) 若点 M, N在抛物线 y=x²-tt∈R上, 且△OMN为等边三角形, 讨论△OMN的个数.
19.设实系数一元二次方程 ax²+bx+c=0a≠0①), 有两根 x₁, x₂,
则方程可变形为 ax-x₁x-x₂=0,展开得 ax²-ax₁+x₂x+ax₁x₂=0②,
比较①②可以得到 x1+x2=ba,x1x2=ca,
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程 ax³+bx²+cx+d=0a≠0有三个根 x₁, x₂, x₃, 则不 x1+x2+x3=-bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=-da
(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数 fx=ax³+bx²+x+1(a