江苏省连云港市新海协作体2024−2025学年高一下学期5月联考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省连云港市新海协作体2024−2025学年高一下学期5月联考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．设向量，若，则（ ）
A．B．C．D．0
4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A．B．2C．3D．
5．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．在中， 若， 则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
7．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则；反之，若，则
C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为
D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为12
10．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．当是棱的中点时，平面
D．直线与平面所成的角的正切值最大为
11．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．正三棱台的高为
B．点P的轨迹长度为
C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题
12．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则 ．
13．已知，且，则 .
14．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知向量，，，且，．
（1）求向量、；
（2）若，，求向量，的夹角的大小.
16．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，面积为，求的值.
17．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
18．在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
（1）当时，求的值；
（2）当时，与交于点，求的值；
（3）求的最小值.
19．如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
(1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少?
(2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少?
(3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动）
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点在，位于第二象限.
故选B
2．【答案】D
【详解】对于A，若，，则，或，故A错误；
对于B，若，，则，或与相交，故B错误；
对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；
对于D，若，，则，故D正确.
故选D.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
即，整理得
又，所以，解得.
故选B
4．【答案】C
【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，
过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．
故选C.
5．【答案】D
【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，
所以棱台的斜高为: .
所以棱台的侧面积是: .
故选D.
6．【答案】A
【详解】由正弦定理和可得，
故,
由于，故,结合为三角形的内角，故，
故三角形为直角三角形，
故选A
7．【答案】B
【详解】因为，所以，，
所以，
.
故选B
8．【答案】B
【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面，
设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，
取的中点，连接、，
对外接球，解得：，
对内切球：，
故四棱锥表面积，
由体积法：，
所以，
令，则，
进而，
当且仅当，即时，取最小值，此时.
因此，该正四棱锥的体积为.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，所以，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，A选项错误；
对于B，由正弦定理得，若，则，所有；反之，若，则，所有，B选项正确；
对于C，因为，，，所以，所以，要使此三角形的解有两个，
则，所以，则的取值范围为，C选项正确；
对于D，因为，角的平分线交边于，且，
则，所以，所以，
所以，所以，
当且仅当时，取的最小值为12，D选项正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，
因为，，，故为等边三角形，
所以，，则，故，同理可得，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，故，A对；
对于B选项，易知为等边三角形，，
因为点在上，且，则，
故，B错；
对于C选项，连接交于点，连接，取线段的中点，连接、，
因为四边形为菱形，，则为的中点，
因为点在上，且，为的中点，则，
所以为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，故平面，C对；
对于D选项，如下图所示：
由A选项可知，平面，所以直线与平面所成角为，
因为平面，所以，则，
因为是边长为的等边三角形，故，
因为平面，平面，所以，
又因为，故为等腰直角三角形，则，
当时，取最小值，且最小值为，
此时，取最大值，且最大值为，D对.
故选ACD.
11．【答案】CD
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于选项A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，
故A错误；
对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，
即，解得，
且等边的内切圆半径，
可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，
所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；
对于选项D：设正四面体的内切球半径，
由等体积法可得：，解得.
因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.
又因为，，，
则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确.
故选CD.
12．【答案】4
【详解】因为与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，
所以，
所以，所以4.
13．【答案】
【详解】，
，
14．【答案】
【详解】在中，由余弦定理可得．
由平面向量数量积的定义可得，
在锐角中，点是线段的中点，则，
所以
．
由及正弦定理，得，，
所以
．
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，所以，
所以，所以．
所以线段的长的取值范围为．
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）解：因为，，，且，，
所以，，
所以，，
所以，；
（2）解：设向量，的夹角的大小为．
由题意可得，，，
所以，
因为，所以．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理得，，
又，
，
，，
，
，
，.
（2）面积为，
，
，
，，
由得，
即，
.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由已知当时，，
所以，，
所以，
因为，所以，
.
（2）当时，，即为的中点，
因为三点共线，
设，则
，
因为三点共线，
设，则，
又不共线，
根据平面向量基本定理得解得
所以，又，则
所以.
（3）因为，，
所以
，
由（1），又，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
19．【答案】(1)6；
(2)4；
(3).
【分析】（1）根据水的体积不变即可得解；
（2）根据空气部分的体积大小判断水面形状，记的中点为，连接，利用空气部分体积求出，然后可求侧棱与水平面所成角的正弦值，由可得所求；
（3）判断空气部分为台体，设，,根据体积公式和勾股定理列方程，联立整理，代入梯形面积公式，转化为关于的函数，通过换元，利用二次函数性质求解可得.
【详解】（1）记水面与棱分别交于点，
当侧面水平放置时，水是以为底，高为8的直棱柱，
因为，分别为棱的中点，
所以，所以水的体积为，
当底面ABC水平放置时，设水面高为，
则，解得，
即当底面ABC水平放置时，水面高为6.
（2）因为三棱柱体积为，
所以三棱锥的体积为，
空气部分的体积为，
因为，所以当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图，
由得，
记的中点为，连接，则，
因为，所以，
又平面，平面，所以，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
所以直线在平面内的投影为，
所以为直线与水平面所成角，
又，所以，
所以，
因为，所以水面到地面的距离为.
（3）由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图：
记的中点分别为，在上，且，，
易知，为正三角形，设，
则，所以，
整理得 = 1 \* GB3 ①，
又因为平面，平面，平面平面，
所以与的交点必在上，所以为棱台，
所以，
整理得 = 2 \* GB3 ②，
联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可得，，
因为，所以为平行四边形，
所以，
易知为等腰梯形，所以为等腰梯形的高，
所以水面面积，
则
当水面刚好过点时，，解得，
则，，
由题意可知，则，
记，，
由二次函数性质可知，，即，
所以，所以，
即水面面积S的取值范围为.