河北省保定市保定中学13贯通实验班2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份河北省保定市保定中学13贯通实验班2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
2．设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．“角为第一象限角”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面向量，则下列命题一定正确的有（ ）
①若，则 ②若，则存在实数，使得
③若，则 ④
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．的最小值是
D．的最大值是
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
11．已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
13．已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为 .
14．如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：
（2）若，求的值．
16．已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)求的最大值．
17．在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知．
(1)求；
(2)若点F在线段CD上，，求．
18．为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上．
方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．

19．对于函数.
(1)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
(2)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏.
【详解】当时，；
当时，；
当或时，；
所以.
故选B.
2．【答案】A
【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题，准确改写，即可求解．
【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
则命题“，”的否定为“，”.
故选A.
3．【答案】C
【分析】根据三角函数值的正负与角所属象限关系进行判断.
【详解】充分性：若角在第一象限角，则 ，，故满足充分性；
必要性：若，则在第一象限或第三象限，
若，则在第一象限或第二象限或轴正半轴上，所以角在第一象限，故满足必要性；
综上所述：角在第一象限是且的充要条件.
故选C.
4．【答案】B
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系．
【详解】，
，，
.
故选B.
5．【答案】B
【分析】对于①，利用向量相等的条件分析判断；对于②③，举例判断；对于④，利用向量的数乘运算判断.
【详解】对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：当时，满足，但是不存在实数，使得，故②错误；
对于③：零向量与任何向量平行，所以当时，满足，但是未必成立，故③错误；
对于④：向量是与平行的向量，而是与平行的向量，所以未必成立，故④错误.
综上，一定正确的只有1个.
故选B．
6．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.
【详解】在正方形中，，
由，得，又，
所以
，
而，且不共线，于是.
故选D.
7．【答案】A
【分析】由为偶函数，排除CD选项，由排除B选项.
【详解】函数定义域为R，因为，
所以为偶函数，图象关于轴对称，故C，D错误；
因为，故B错误.
故选A.
8．【答案】A
【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．
【详解】如图，

过作直线与水面平行，
过作，垂足为点，过作，垂足为点，
设，，则，其中，
则，，
所以，，
所以，
整理可得，
因为，则，所以，解得.
故选A.
9．【答案】BD
【分析】利用特殊值进行验证排除，可判断A；根据不等式性质，可判断B；利用基本不等式可判断CD．
【详解】对于A：若，，时，，，即不成立，故A错误；
对于B：若，对不等式两边同时平方，则，故B正确；
对于C：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然取等条件不成立，
故的最小值不可能是，故C错误；
对于D：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选BD．
10．【答案】ABD
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
【详解】根据函数的部分图象，
可得，，所以，
利用五点法作图，可得，可得，
所以，可得函数的最小正周期为，故A正确；
，为的最小值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
当，，而不是正弦函数的单调区间，故C错误；
把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确.
故选ABD．
11．【答案】AC
【分析】作出函数的图象，结合图象，可判定A正确；根据，由对数式的运算，可判定B错误；由关于直线对称，得到，结合二次函数的性质可得的范围，可判定C正确；由，结合不等式的性质可判定D错误.
【详解】作出函数，如图所示，
结合图象，要使有四个不等的实根，则，故A正确；
由图可知，则，
因为，可得，即，
所以，故B错误；
由图可得，令，则，
因为关于直线对称，所以，所以，
则，
又因为，可得，所以，故C正确；
当时，，令，可得，
所以，结合图象知，同增同减，
所以，故D错误．
故选AC.

12．【答案】
【分析】根据奇函数定义将化为，代入解析式即可．
【详解】因为奇函数满足当时，，
所以．
13．【答案】
【分析】由投影向量的公式，结合向量数量积和模的坐标运算求解.
【详解】平面向量，则，，
向量在方向上的投影向量为.
14．【答案】
【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．
【详解】如图，连接.
由题意知，线段的长度都等于半径，
所以为正三角形，则，
故的面积为，
扇形的面积为，
由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，
所以阴影部分的面积.

15．【答案】（1）
（2）2
【分析】（1）利用指数对数运算法则即可；
（2）先利用诱导公式求出，然后利用同角三角函数基本关系式即可．
【详解】（1）原式；
（2）因为，所以，
所以．
16．【答案】(1)或
(2)答案见详解
【分析】（1）将条件代入运算可得解；
（2）换元，令，，化为，分类讨论求出的最大值.
【详解】（1）函数，
所以
整理得，解得或；
（2）因为，
设，则，化为，
则为二次函数，开口向下，对称轴为，
所以当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为；
所以当时，的最大值；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用数量积的坐标表示计算即得；
（2）设出点的坐标，利用给定的数量积求出点的坐标，再利用向量夹角公式计算即得.
【详解】（1）依题意，y轴是等腰梯形的对称轴，则，由，
得，，
所以；
（2）设，则，
，解得，即，，而，
所以.
18．【答案】答案见详解
【分析】方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论；
方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
【详解】选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
在直角中，设，则，
在直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，则
由，可得，
当，即时，
平方米，
所以当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米．

选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
过点作的垂线分别交，于，
由对称性可知，平分，
在直角中，设，则，
在直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，
则
，
由，可得，
当，即时，平方米，
所以当时，活动场地面积取得最大值为平方米．

19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原方程可转化为，分类讨论即可；
（2）将转化为，分别求最大值和最小值，再求a范围.
【详解】（1）方程恰有一个实根，
转化为方程恰有一个实根，
所以，
由①可得，即，
当时，方程有唯一解，满足②，
所以符合条件；
当时，判别式，
当时，方程有两相等根，满足②，
所以符合条件；
当且时，方程有两不等根，
若满足②，则，
若满足②，则，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为；
（2）令，则在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，
所以函数在上为单调递减函数，
当时，满足，
则，
所以，即对任意的恒成立，
设，又，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以.