广西北海市2023−2024学年高一下学期期末教学质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份广西北海市2023−2024学年高一下学期期末教学质量检测 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．在平行四边形中，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，内角的对边分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．已知函数，若的图象与函数的图象交于A，B两点，则(O为坐标原点)的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，在方格中，向量的起点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的内切球的表面积为
B．
C．三棱锥的体积随着的变化而变化
D．存在点，使得平面
11．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．若时，恒成立，则实数的取值范围为
D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在单位圆上有三点，设三边长分别为，则 .
13．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为 .
14．如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）已知，复数是纯虚数，求的值.
（2）已知，设是虚数单位），求.
16．已知角,，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.

(1)求点D到塔底B的距离；
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.
18．中，内角的对边分别为，记的面积为，且 .
(1)求角；
(2)若为的中点，且，求的内切圆的半径.
19．如图，在三棱锥中，是等边三角形，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】先根据复数的运算求出复数，然后求出其共轭复数，从而可求得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，所以的虚部为.
故选A.
2．【答案】B
【分析】借助平面向量的线性运算计算即可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故选.
3．【答案】C
【分析】结合等腰直角三角形的性质与圆锥的母线长可计算得到圆锥的高与底面半径，结合体积公式计算即可得解.
【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，
解得，所以该圆锥的高，
所以该圆锥的体积.
故选
4．【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
由正弦定理得，所以.
故选.
5．【答案】B
【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解.
【详解】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，
则，解得，
由题意可得，解得，
所以该扇形圆心角用密位制表示为．
故选B.
6．【答案】C
【分析】根据题意，可得的解析式，根据为奇函数，可得，即可求得的表达式，对k赋值，即可求得答案.
【详解】由题意得，
若函数为奇函数，可得，
解得．
令，可得，所以可能的取值为.
故选C.
7．【答案】A
【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可.
【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．
故选A．

8．【答案】B
【解析】联立函数可求出A，B坐标，即可求出面积.
【详解】由题意有，有，
有，解得或（舍去），
由可得或，
则点A的坐标为，点B的坐标为.
线段中点的坐标为，则的面积为.
故选B.
9．【答案】BCD
【分析】如图建立平面直角坐标系，设每个方格的边长为1，利用向量的坐标运算逐项判断.
【详解】如图建立平面直角坐标系，设每个方格的边长为1，

则，，.
对于A： ，，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故正确.
故选.
10．【答案】ABD
【分析】根据内切球的半径为判断A；证明平面，即可判断B；
证明平面，即可判断C；当点是线段的中点可证平面，即可判断D.
【详解】棱长为的正方体内切球的半径为，
所以正方体内切球的表面积，故A正确；
在正方体中，平面，又平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以，故B正确；
因为，且平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故C错误；
当点是线段的中点时，则点也是线段的中点，又是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可证，
又，平面，
所以平面，所以平面，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AD
【分析】利用辅助角公式化简原函数，再求解最小正周期判断A，代入检验法判断B，利用三角函数的性质判断C，D即可.
【详解】因为；
所以的最小正周期为，故正确；
又由，故错误；
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为，故C错误；
由题意得函数，因为，
所以，又因为函数有且仅有5个零点，
则满足，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确.
故选.
12．【答案】
【分析】根据合分比定理结合正弦定理求解.
【详解】单位圆的半径为，故的外接圆直径为，
根据正弦定理得，
根据合分比定理得.
13．【答案】
【分析】借助向量数量积公式、模长与数量积的关系及向量夹角公式计算即可得.
【详解】由题意知，，
由，所以 ，即，
所以，所以，
由，得.
14．【答案】
【分析】利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比，再结合割补法即可得解.
【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设三棱台的高为，则点到平面的距离也为，
设上底面面积为，则下底面面积为，
则，，
所以，
所以.
15．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由纯虚数的概念列出方程组，求解即可.
（2）根据复数相等求出的值，再求模.
【详解】（1）因为复数是纯虚数，
所以，
解得；
（2） 因为，
所以，
所以，解得，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数关系求得，，从而利用两角差的正切公式求得，最后化弦为切代入求解即可；
（2）利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】（1）由题意角,，由得，
则.
所以，
所以；
（2）.
17．【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长；
（2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得.
【详解】（1）由题意可知，，故，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
所以点D到塔底B的距离为米；
（2）在中，由正弦定理得，
得
，
在中，，
所以铁塔高为米.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角；
（2）由题意得，两边平方化简可求出，再利用余弦定理可求出，然后利用等面积法可求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，所以，
又，所以；
（2）因为为的中点，所以，因为，
所以，
解得或（舍），
由余弦定理得，
所以，
设的内切圆半径为，则，
所以，解得.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先证平面，从而得，接着进一步可证平面，再根据面面垂直判定定理即可得证；
（2）过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，连接，接着证明平面即可得到为二面角的平面角，根据已知条件求出的余弦值即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
又，所以，所以，
又,平面，所以平面，
又平面，所以，
因为是等边三角形，是的中点，所以，
又，,平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）因为平面平面，所以平面平面，
在中，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
连接，如图所示，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，所以为二面角的平面角，
在中，，
又平面平面，所以，
在中，，
又，
所以，解得，
因为平面平面，所以，又，
所以在中，，
所以，即二面角的平面角的余弦值为.
【方法总结】作二面角的平面角常用方法有：
（1）定义法：在棱上取点，过该点分别在二面角两半平面内引出两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.
（2）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，交线所成的角即为二面角的平面角.