广东省潮州市2023−2024学年高一下学期7月期末 数学试题（含解析）

这是一份广东省潮州市2023−2024学年高一下学期7月期末 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知i是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．2iC．D．
2．棱长为4的正方体的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角的对边分别为，若,,，则等于（ ）
A．30°B．150°C．60°D．120°
4．已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n等于（ ）
A．21B．24C．27D．30
5．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.55D．0.6
6．正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知空间四边形中，,分别是,的中点，若，，，则与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法正确的是（ ）
猕猴桃102 104 106 107 113 116 119 121 132 134
柚 子109 113 114 116 117 121 121 122 131 132
A．每100克柚子维生素C含量的众数为121
B．每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122
C．每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100克柚子维生素C含量的极差
D．每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数
10．已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．3D．5
11．下列命题正确的是（ ）
A．若向量,满足，则或
B．若向量,满足，则向量,的夹角为钝角
C．若，，则向量在向量方向上的投影向量为
D．设,是同一平面内两个不共线的向量，若，，则,可作为该平面的一个基底
三、填空题（本大题共3小题）
12．设为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 .
13．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为 .
14．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，.
(1)若，求实数x的值；
(2)若，，求向量与的夹角.
16．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间.
(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；
(2)从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率.
17．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求四面体BAEF的体积.
18．某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率；
(2)求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
19．如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上.
(1)求的面积；
(2)若，，求CE的长.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据复数的概念直接求解.
【详解】根据复数的概念，复数的虚部为.
故选C.
2．【答案】B
【分析】根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.
【详解】因为棱长为4的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，
所以直径，
内切球的体积为.
故选B.
3．【答案】D
【分析】利用余弦定理，即可求解.
【详解】根据余弦定理，，
由于，所以.
故选D.
4．【答案】A
【分析】根据分层抽样的特点列等式可求得的值.
【详解】由题意可得，解得.
故选A.
5．【答案】C
【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：
533 224 344 254 424 435 335 233 232 353 442共11组，
因此，所求概率为.
故选C.
6．【答案】B
【分析】连接，作平面，平面，侧棱.
【详解】连接，作平面，平面，，
因为为正四棱台，则在上，
因为上底面的边长为2，下底面的边长为4，
，
侧棱.
故选B.
7．【答案】A
【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值.
【详解】根据题意，得，
又，
因为B，P，D三点共线，所以，即.
故选A.
8．【答案】C
【分析】设为的中点，连接，，即可得到与所成的角即为与所成的角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】设为的中点，连接，，又,分别是,的中点，
所以,分别为,的中线，
所以且，且，
所以与所成的角即为与所成的角，
又，所以，所以为直角三角形，且，
所以，所以，
即与所成的角为.
故选C.
【方法总结】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
9．【答案】ABC
【分析】由众数、百分位数的概念可直接判断AB，由极差、平均数的计算公式可分别判断CD.
【详解】对于A：每100克柚子维生素C含量的众数为121，故A正确；
对于B：，则每100克柚子维生素C含量的75%分位数为第8个数，
为122，故B正确；
对于C：每100克猕猴桃维生素C含量的极差为，
每100克柚子维生素C含量的极差为，故C正确；
对于D：每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为
，
每100克柚子维生素C含量的平均数为
，故D错误．
故选ABC．
10．【答案】BC
【分析】首先根据复数的乘方化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.
【详解】因为，
所以，则复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，解得，所以符合题意的有B ，C.
故选BC.
11．【答案】CD
【分析】对于A，可举出反例；对于B，利用向量数量积公式即可判断；对于C，根据投影向量公式进行求解；对于D，先求出以，不共线，从而得到D正确.
【详解】对于A：当非零向量满足时，，故A错误；
对于B：当向量，满足，向量，的夹角为钝角或反向，故B错误；
对于C：由，，
向量在向量方向上的投影向量为，故C正确；
对于D：，是同一平面内两个不共线的向量，
设，则，故，无解，
所以，不共线，故，可作为该平面的一个基底，故D正确.
故选CD.
12．【答案】
【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.
【详解】由与是对立事件，可得
由与是互斥事件，可得
.
13．【答案】82
【分析】由频率分布直方图求出时间在4~10小时内的频率，再求人数.
【详解】依题意，100名学生中参加实践活动的时间在4~10小时内的人数为
，
即这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为82.
14．【答案】
【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据扇形的面积公式及弧长公式计算可得.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
所以，解得（负值已舍去），所以，解得.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；
（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解得，结合数量积的定义计算即可求解.
【详解】（1）已知，
因为，所以，解得；
（2）因为，
又，所以，
解得，所以，
所以，
因为，所以.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用样本在上的频数除以可得所求频率；
（2）设区间中的两个数据为，，区间中的三个数据为，，，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
【详解】（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快，
而样本在上的频数为，所以所求频率为；
（2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，两个数据都位于内”，
设区间中的两个数据为，，区间中的三个数据为，，，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含，，，，，，，
，，，共个样本点，
而事件包含，，，共个样本点，所以.
17．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先根据面面垂直性质定理证明线面垂直，再根据线面垂直判定定理结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据三棱锥的体积公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意，因为 ，所以，又平面平面，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，则，
在正方形中，，
又平面平面，则平面，
平面,所以平面平面；
（2）因为平面，平面平面，
，所以平面，
又，
故，
所以.
18．【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，根据已知条件以及事件的相互独立性列出方程组求解即可；
（2）将至少有两位小孩需要照顾分类，结合互斥事件以及对立事件的概率公式进行求解即可.
【详解】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，
则由题意得，解得.
即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，；
（2）设事件A:这一小时内至少有两位小孩需要照顾，
这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为
，
这一小时内三位小孩都需要照顾的概率为，
则，
即这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中利用正弦定理求出角，再利用两角和的正弦公式求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）方法1：由题意可得，代值计算即可；方法2：在中利用余弦定理求出，则可求得，再在利用正弦定理求出，从而可求出，然后在中利用余弦定理可求得.
【详解】（1）中，，
因为，，，所以，
所以，
因为
，
所以；
（2）方法1：因为,
所以,
所以
，
则.
方法2：在中，由余弦定理得
，
因为为线段上靠近的三等分点，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以.组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
频数
2
3
15
30
30
75
120
5