辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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考试时间：120分钟 考试分数：150分
一、单选题
1-4． BACA 5-8． BDCC
二、多选题
9．ABD 10．BC. 11．BD．
三、填空题
12． . 13． 14．
四、解答题
15． （13分）
【解】（1）因为，根据正弦定理，得，--- --- ---2分
化简得，因为，所以， --- --- ---4分
因为，所以. --- --- ---5分
（2）在中，由余弦定理得，--- --- ---7分
所以，解得． --- --- ---9分
因为为的中线，所以，所以，
--- --- ---11分
因为，所以，解得. --- --- ---13分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
16． （15分）
【解】（1）连接交于点，连接，由底面是正方形，故为中点，
又点为线段的中点，故， --- --- ---3分
又平面，平面，故平面； --- --- ---4分
（2）由点为线段的中点，，故，
由平面，平面，故， --- --- ---6分
又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故， --- --- ---8分
又、平面，，故平面；- -- --- ---10分
（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，--- --- ---12分
故.- -- --- ---15分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
17．（15分）
【解】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称，
于是，而，则，所以. --- --- ---4分
(2) ，当时，设，在为增函数，在为减函数，所以方程有唯一实根，等价于时有唯一实根，所以的范围.是 --- --- ---8分
（3）由（1）知，，则，
，，
当时，，，令，
显然， --- --- ---12分
不等式，
依题意，，不等式恒成立，
显然，
，当且仅当，即时取等号，则，所以实数的取值范围是. --- --- ---15分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
18． （17分）
【解】(1)证明：在正三棱柱中，因为点为的中点，则，又平面，平面，则有，
而平面，于是平面，平面，则平面平面， --- --- ---5分
（2）在平面内过点作交于点，平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点，--- --- ---8分
如下图所示，显然，因此，
即有，于是，，所以.--- --- ---11分
（3）在平面上，过M点作MN垂直垂足为N，因为点为的中点，所以N为的四等分点，即, --- --- ---13分
过N点作的垂线NP垂足为P，连接MP,
平面平面，平面平面，因此平面，所以有，由二面角定义可得为二面角的平面角， --- --- ---15分
为直角三角形，边上的高为，则有NP=，
所以 --- --- ---17分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）
19． （17分）
【详解】(1) 由，由余弦定理得BC=--- --- ---2分
取的中点，连接,则,所以，同理可得，则的值为22； --- --- ---4分
（2）不妨设，因，同理可得，
则由可得
，即得：①
又由可得
，即得：②---- --- ---6分
联立① ,②，解得：
则， --- --- --8分
因，当且仅当时等号成立.即当时，取得最大值.
--- --- ---10分
（3）由，则，由图知,则,
--- --- ---11分
设的外接圆半径为，
则,
即, --- --- ---13分
又，
而,
则，而，
故,--- --- ---15分
不妨设与的夹角为，
则,
因，故，即，
故，得证. --- --- ---17分
（利用其它方法证明求解的按步骤给分）