山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三下学期5月高考模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三下学期5月高考模拟考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，那么集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知（为虚数单位)，则（ ）
A．2B．C．4D．8
3．如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ）
A．9亿元B．9.5亿元C．10亿元D．10.5亿元
4．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8B．24C．48D．120
5．已知为的一个内角，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．2B．C．4D．
7．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A．若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则
B．若的图象在上单调递增，则ω的取值范围是
C．若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2
D．存在ω，对，恒成立
10．已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．记，则的面积；
C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则；
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为.
11．如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面，则最小值为
B．若平面，则
C．若，则到平面的距离为
D．若，时，直线与平面所成角为，则
三、填空题
12．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为
13．已知等比数列的前项和为，若，，则 .
14．定义的区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为 ．
四、解答题
15．设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求边上中线的长．
16．已知数列是公差为2的等差数列，满足．
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和为，若，求的最大值．
17．已知，函数，.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）证明：函数存在两个零点；
（3）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
18．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）.
（1）求证：平面.
（2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值.
（3）求三棱锥的体积的取值范围.
19．近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．
（1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计．
若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
（2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为．
(ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；
(ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为,所以,
故选A.
2．【答案】B
【详解】由复数，可得，所以.
故选B.
3．【答案】D
【详解】因为，所以当时，
．
故选D．
4．【答案】C
【详解】由题意知本题需要分步计数，
2和4排在末位时，共有（种）排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有24（种）排法，
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．
故选C．
5．【答案】D
【详解】由题意得，因此为钝角，
所以.
故选D.
6．【答案】C
【详解】由抛物线的定义知，又，
所以为等边三角形， 为准线与轴的交点)，
抛物线的焦点，准线，，
故 故.
故选C
7．【答案】D
【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，
则，
所以.
故选D.
8．【答案】D
【详解】令f(x)=0，得 即
令 则 (1-e)t-1=0，
令 则
令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增；
令 在区间 上单调递减，又 1，h（0）=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.
令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.
当a