北京海淀2025年高三三模数学试题【含答案】

展开

这是一份北京海淀2025年高三三模数学试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了可根据学生实际选用或改编；等内容，欢迎下载使用。
说明：
1、可根据学生实际选用或改编；
2、本练习题目目的是提醒学生4次统练未关注到的点，或重点知识，或变式的形式，学生不必全做；
3、时间仓促，个别题没给答案，另外所提供的答案仅供参考；
预祝同学们取得好成绩！
1、在（0，2π）内，使sinx＞csx成立的x的取值范围为（）
A.（，）∪（π，） B.（，π）
C.（，） D.（，π）∪（，）
2、在平面坐标系中， AB，CD，EF，GH是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以O?为始边，OP为终边，若tanα0)的离心率为e，则满足“直线y=2x与双曲线C无公共点”的e的一个值是 ____．
（10）在平面直角坐标系xOy中，方程(x+3)2+y2⋅(x-3)2+y2=13对应的曲线记为C，给出下列结论：
其中正确结论的个数为
（18）（本小题14分）
某公司为了了解A,B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式请用户对公司产品评分．该公司将收集的数据按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分分布表如下：
（Ⅰ）采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？
（Ⅱ）从（Ⅰ）中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；
（Ⅲ）若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和μ1+μ22的大小，并说明理由．
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,2) QUOTE A(1,2) .
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）过点A QUOTE A 的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若 QUOTE S∆OAB=2 △OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标.
5．（2023·北京石景山·统考一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点0,3，且离心率为12.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P-1,1且互相垂直的直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求PMPNPSPT的取值范围.
2.已知数列an为无穷多项的等比数列，则“an无最值”是“qb>0)的右顶点为B(2,0)，离心率为12。
（1）求椭圆C的方程及短轴长；
（2）已知：过定点A(2,3)作直线l交椭圆C于D,E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标.
6.椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，点D(-4,0)，
（1）过点D与椭圆相切的直线为l，求l的方程；
（2）过F1且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于A,B，设直线AD与椭圆C的另一个交点为E，连接EF，求证：F1D平分∠BF1E
4. 已知的内角，，的对边分别为，，，且3sin(B+π6)=-cs(B+π6)．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：a2-b2+c2+3c=0；
条件②a=3,b=1；
条件③SΔABC=1534.
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求sinA的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
参考答案
说明：
1、可根据学生实际选用或改编；
2、本练习题目目的是提醒学生4次统练未关注到的点，或重点知识，或变式的形式，学生不必全做；
3、时间仓促，个别题没给答案，另外所提供的答案仅供参考；
预祝同学们取得好成绩！
1、（ C ）
2、答案：C
（14）答案：；，
（4） A
3、（ C ）
4、答案： -1,3
5．（ C ）
6．（ B ）
3．无
4．无
2．无
5．无
5．无
6．无
1．D
【分析】A.代入周期的定义，即可判断；
B.分别比较两个函数分别取得最大值的x值，即可判断；
C.代入对称性的公式，即可求解；
D.根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】A.fx+π=sinx+π+12sin2x+π=-sinx+12sin2x≠fx，故A错误；
B.y=sinx，当，k∈Z时，取得最大值1，y=12sin2x，当2x=π2+2kπ，k∈Z时，即x=π4+kπ，k∈Z时，取得最大值12，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以fx的最大值不是32，故B错误；
C.f2π-x=sin2π-x+12sin22π-x=-sinx-12sin2x≠fx，所以函数fx的图象不关于直线x=π对称，故C错误；
D.fx=sinx+12sin2x=sinx+sinxcsx=0，即sinx1+csx=0，x∈0,2π，
即sinx=0或csx=-1，解得：x=0,π,2π，
所以函数fx在区间0,2π上有3个零点，故D正确.
故选：D
2． B
12．答案： 1 -∞,0∪2,+∞
（3）B
（4）D
（8） A
（13）答案：35 45
（15）答案：π4（答案不唯一）
（16）答案：①③
（4）D
（5）B
（7）D
（9）C
7． D
12． 45
9. A
20.解：（Ⅰ）因为ÐABC=90º，所以AB⊥BC，
因为平面ABB1A1^平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，
所以BC^平面ABB1A1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，
所以BC^AB1，
因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以四边形ABB1A1是平行四边形，
因为AA1=AB，所以ABB1A1是菱形，
所以AB1^A1B，
因为A1B∩BC=B，A1B，BC⊂平面A1BC，
所以AB1^平面A1BC，
因为A1C⊂平面A1BC所以AB1^A1C. …………………………6分
（Ⅱ）选条件①：
（ⅰ）因为AC1=A1C，所以平行四边形ACC1A1为矩形，所以AA1^AC，
由（Ⅰ）知，AA1^BC，
因为AC∩BC=C，BC，AC⊂平面ABC，
所以AA1^平面ABC，
因为AA1⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1^平面ABC. ………………………11分
（ⅱ）因为AA1^平面ABC， A1C∩平面ABC=C，
所以直线A1C与平面ABC所成的角为ÐA1CA，所以ÐA1CA=30º，
因为AA1=AB=1，所以A1C=2，AC=3，BC=2，A1B=2
作BD^AC于D，
因为平面ACC1A1^平面ABC，
平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，
所以BD^平面ACC1A1，所以BD^A1C.
作DE^A1C于E，连接BE，
因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，
所以A1C^平面BDE，
因为BE⊂平面BDE，所以A1C^BE，
所以∠BED是二面角B-A1C-A的平面角.
因为AC⋅BD=AB⋅BC，所以BD=63，
因为A1C⋅BE=A1B⋅BC，所以BE=1，所以sin∠BED=BDBE=63，
所以二面角B-A1C-A的正弦值为63. …………………………15分
条件②：A1B=2AB，因为AA1=AB，所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1^AB，
由（Ⅰ）知，AA1^BC，
因为AB∩BC=B，BC，AB⊂平面ABC，
所以AA1^平面ABC，
以下同条件①.
（4）B
（7）A
（10）C
（13）答案：23
（14）答案：5（答案不唯一）
（1）无
（12）答案：a=π，b=1 (答案不唯一)
（18）（Ⅰ）设M为AB的中点，连接ME，MF，
因为M为AB的中点，F为BC的中点，
所以MF//AC，MF=12AC.1分
因为AC//A1C1，AC=A1C1，E为A1C1的中点，
所以MF//EC1，MF=EC1. 2分
所以EMFC1为平行四边形，
所以FC1//ME.3分
又因为ME⊂平面ABE，FC1⊄平面ABE，
所以FC1//面ABE.5分
（Ⅱ）选择 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③
（ⅰ）由AB=3，BC=1，AC=2，得AC2=AB2+BC2，则AB⊥BC.
6分
因为C1C⊥BC，C1C⊥AC，AC∩BC=C，
所以C1C⊥平面ABC.7分
所以C1C⊥AB.8分
又因为AB⊥BC，C1C∩BC=C，
所以AB⊥平面B1BCC1.9分
又因为FC1⊂平面B1BCC1，
所以AB⊥FC1.10分
（4）A
（5） C
（6）B
（13）5,40
（20）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=2时，f'(x)=2x-2x=2(x2-1)x.
令f'(x)=0，解得x=1，或x=-1 (舍).
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
因此，当x=1时，f(x)有极小值，极小值为f(1)=0.
（Ⅱ）f'(x)=2x-ax=2x2-ax.
(1)当a≤2时，因为x∈(1,+∞)，所以2x2-a>0.所以f'(x)>0.所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故f(x)>f(1)=0，满足题意.
(2)当a>2时，令f'(x)2a2时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(2a2,+∞)上单调递增.
要证，只要证，即只要证.
，令t=a-2>0，只要证.
令，.
令，当x>0时，，
所以g'(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则有g'(x)>g'(0)=0.
所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则有g(x)>g(0)=0，
于是f(ea-2)>0得证. 故. …………………….……15分
（ⅱ）三棱锥B1-AFC1的体积就是三棱锥A-B1FC1的体积．
因为AB⊥平面B1BCC1，12分
所以三棱锥A-B1FC1的体积是
V=13×AB×SΔB1C1F=13×AB×12×B1C1×A1A=13×3×12×1×2=33.14分
选择 = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③
在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为A1ACC1是平行四边形，AC1=A1C
所以AA1⊥AC.
以下同选择 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③.
4．（ D ）
9． A
（19）解：（Ⅰ）因为椭圆的焦距为，长轴长为，
所以，．
所以．
所以椭圆的方程为． …………3分
（Ⅱ）存在定点，使得恒在直线上. 理由如下： …………4分
设直线，，，则．
所以，.
由得． …………6分
所以，，． …………8分
因为，，
所以
．
所以．
所以点，，共线． …………10分
（14）答案不唯一，如2.（注：e∈(1,5]）
（10）B
（18）解：（Ⅰ）设从A地区抽取的用户中抽取的10名参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m名，则m10=240400，所以m=6． .…………4分
（Ⅱ）将从（Ⅰ）中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为[60,80)的4名用户编号为1，2，3，4，评分为[80,100]的2名用户编号为a，b，从6人中随机选取2名用户的样本空间
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)}.
设事件M= “这两名用户的评分恰有一名低于80分”，则
M={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)}.
则P(M)=n(M)n(Ω)=815，
所以这两名用户的评分恰有一名低于80分的概率为815． .…………11分
（Ⅲ）结论1： μ0>μ1+μ22，用样本估计总体．
方法一：计算μ1=30×110+50×310+70×410+90×210=64，
μ2=30×310+50×210+70×410+90×110=56，
计算μ0=30×750+50×1450+70×2050+90×950=62.4
所以μ0>μ1+μ22．
方法二：依据A,B两个地区调查后各组数据的频率对比，易知μ1>μ2，
因为A,B两个地区抽取的样本容量不同n(A):n(B)=4:1，
所以μ0=45μ1+15μ2>μ1+μ22． .…………14分
结论2：无法判断μ0与μ1+μ22的大小关系.
理由一：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较. .…14分
理由二：因为抽取样本时在两个地区中的抽样的权重不知道，所以无法确定μ0的值，所以无法比较. .…………14分
注意：只判断大小，不说明理由不给分。
19.解：（Ⅰ）因为抛物线C:y2=2px经过点A1,2，
所以2p=4，即p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x，焦点坐标为1,0. .…………5分
（Ⅱ）解法1：因为OA=12+22=5，SΔOAB=2，
所以点B到直线OA的距离d=2SΔOABOA=45=455.
因为直线OA的方程为2x-y=0，设点B坐标为Bt24,t，
所以点B到直线OA的距离又可以表示为d=2×t24-t22+-12=t22-t5=t2-2t25，
所以t22-t=4，解得t=-2或t=4.
所以点B的坐标为1,-2或4,4.
5．解：（1）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点0,3，且离心率为12
所以b=3ca=12a2=b2+c2，解得b=3c=1a=2，所以椭圆C的方程为；
（2）当直线l1的斜率不存在时，则直线l1：x=-1，代入椭圆方程得y=±32，
所以M-1,32,N-1,-32；直线l2：y=1，代入椭圆方程得x=±263，所以S263,1,N-263,1，
所以PMPNPSPT=32-1⋅-32-1263+1⋅263-1=34；
当直线l2的斜率不存在时，同理可得PMPNPSPT=43；
当直线l1,l2的斜率均存在，不妨设直线l1的方程为y=kx+1+1，则直线l2的方程为y=-1kx+1+1，Mx1,y1,Nx2,y2,Sx3,y3,Tx4,y4，
则y=kx+1+1x24+y23=1，消去y得3+4k2x2+8kk+1x+4k+12-12=0，
Δ>0恒成立，所以x1+x2=-8kk+13+4k2,x1x2=4k+12-123+4k2，
所以PMPN=1+k2x1+1⋅1+k2x2+1=1+k2x1x2+x1+x2+1
=1+k24k+12-123+4k2+-8kk+13+4k2+1=1+k2⋅53+4k2；
同理可得，将k换成-1k可得PSPT=1+-1k2⋅53+4-1k2=1+1k2⋅5k23k2+4
所以PMPNPSPT=1+k2⋅53+4k21+1k2⋅5k23k2+4=3k2+43+4k2=344k2+3+743+4k2=34+743+4k2∈34,43，
综上所述，PMPNPSPT的取值范围是34,43.
2.答案：C
3. 答案：C
4. 答案：B
4. 【参考答案】
选择条件①
（Ⅰ）证明：
因为CD//AB，CF//AE，且AB∩AE=A
又因为AB,AE⊂平面ABE，CD,CF⊂平面CDF
所以平面ABE//平面CDF
又因为DF⊂平面CDF，所以DF//平面CDF
因为DF⊂平面ADF
平面ADF∩平面ABE=AG
所以DF//AG，即AG//DF
（Ⅱ）解：
因为AE⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD
所以AE⊥AB，AE⊥AB. 又AB⊥AD
如图，以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)，F(2,1,1)
所以CF=(0,0,1)，AD=(0,1,0)，DF=(2,0,1)
设平面ADF的一个法向量为n=(x,y,z)
则&AD⋅n=0&DF⋅n=0，即&y=0&2x+z=0
不妨令x=1，则y=0，z=-2
所以n=(1,0,-2)
cs=CF⋅n|CF||n|=-25=-255
所以直线CF与平面ADF夹角的正弦值255
（Ⅲ）设BG=λBE，λ∈[0,1]
则BG=λ(-1,0,1)=(-λ,0,λ)
AG=AB+BG=(1,0,0)+(-λ,0,λ)=(1-λ,0,λ)
又DF=(2,0,1)
由（Ⅰ）知AG//DF，所以AG//DF
所以1-λ2=λ1，解得λ=13∈[0,1]
所以BGBE=13
5.【参考答案】
解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为100×人．
a=1-0.10-0.35-0.25-0.15-0.10=0.05，
b=1-0.10-0.20-0.30=0.40．
（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，
有患病者40×0.20=8人，未患病者60×0.15=9人．
设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”．
则 P(A)=C92C172=934，
所以 P(A)=1-P(A)=2534．
（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的X0=4.5．
当X0=4.5时，判断错误的概率为21100．
6. 【参考答案】
(1)将30个数字从小到大排序：58，60，66，68，69，70，75，75，76，76，76，78，78，78，79，82，84，86，86，86，87，88，90，92，92，95，96，98，98，98.则中位数是79+822=80.5.
选出的15名女生中90分以上的有3人，则X的取值范围为{0，1，2}.
P(X=0)=C122C30C152=2235
P(X=1)=C121C31C152=1235
P(X=2)=C120C32C152=135
故X的分布列为
X的数学期望E(X)=0×2235+1×1235+2×135=25.
m的最小值为7.
根据图表中数据，30人中有15人的成绩在80分以上，由频率估计概率，随机抽取1人，该人成绩在80分以上的概率为1530=12.
设每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上为事件A.
则P(A)=1-12m>0.99,则m≥7.故m的最小值为7.
7. 【参考答案】
解：(Ⅰ) f'(x)=2ax+(x2-2x+2+2x-2)ex=2ax+x2ex
易得f'(0)=0,f(0)=2均与a无关，
所以不论a取何值，曲线y=f(x)都与定直线y=2相切.
(Ⅱ)f'(x)=2ax+x2ex=x(2a+xex)
设g(x)=xex，则g'(x)=(x+1)ex，
当x≥-1时g'(x)≥0，即函数g(x)在[-1,+∞)上单调递增，且g(0)=0.
①当a=0时f'(x)=x2ex≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值，不符；
②当a0，当x∈(0,x1)时，f'(x)0时，由函数g(x)的性质可知:
存在x20，f(x)单调递增，
所以0为函数f(x)的极小值点，符合.
综上有a∈(0,+∞).
（ = 3 \* ROMAN III）不存在，理由如下：
设hx=(x2-2x+2)ex，由(Ⅱ)可知函数h(x)在R上单调递增，
假设曲线y=f(x)存在两个不同的点关于y轴对称，
设其坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0)，其中x0≠0.
由f(x0)=f(-x0)得：h(x0)=h(-x0)，
与h(x)在R上单调递增矛盾，
所以曲线y=f(x)不存在两个不同的点关于y轴对称.
5.解：（1）易得椭圆方程为x24+y23=1，短轴长23
（2）由已知，直线DE的斜率存在，设直线DE为 y=k(x-2)+3，E(x1,y1),D(x2,y2)
由&y=k(x-2)+3&3x2+4y2=12
得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-12=0
令Δ=64k2(3-2k)2-4(3+4k2)(4(3-2k)2-12)>0 可得k>12
于是x1+x2=-8k(3-2k)3+4k2,x1x2=4(3-2k)2-123+4k2
DB直线方程为y=y2x2-2(x-2)，令x=x1，得y=y2(x1-2)x2-2
于是F(x1,y2(x1-2)x2-2)，所以EF中点G(x1,y1(x2-2)+y2(x1-2)2(x2-2))
kBG=y1(x2-2)+y2(x1-2)2(x2-2)(x1-2)=k+3(x1+x2-4)2(x1x2-2(x1+x2)+4)=-12
于是GB直线方程为y=-12(x-2)
由&y=-12(x-2)&3x2+4y2=12可解得M(-1,32)，于是G(12,34)
此时可得E(12,±354)，k=2±52满足k>12即这样的平行四边形有两个.
6.解答：（1）由已知，直线l斜率存在，设l:y=k(x+4)，
联立y=k(x+4)3x2+4y2=12，消y得：3x2+4k2(x+4)2=12
即：(4k2+3)x2+32k2x+64k2-12=0
Δ=32k2⋅32k2-4(4k2+3)(64k2-12)=-144(4k2-1)
令Δ=0，得k=±12
所以l的方程为： x+2y+4=0或者x-2y+4=0.
（2）设DA:y=k(x+4)，E(x1,y1),A(x2,y2)，则当Δ>0时，x1+x2=-32k24k2+3x1⋅x2=64k2-124k2+3，
此时：
kF1A+kF1E=y1x1+1+y2x2+1=k(x1+4)x1+1+k(x2+4)x2+1=k(x1+4)(x2+1)+k(x2+4)(x1+1)(x1+1)(x2+1)
=k[2x1x2+5(x1+x2)+8](x1+1)(x2+1)=k[2⋅64k2-124k2+3-5⋅32k24k2+3+8](x1+1)(x2+1)=0
所以：∠DF1E=∠AF1F2，F1D平分∠BF1E
4. 【答案】解：（Ⅰ）由3sin(B+π6)=-cs(B+π6)，得tan(B+π6)=-33，
因为B∈(0,π)，所以B=2π3.
（Ⅱ）显然B>A，所以b>a，所以条件②错误，所以①③正确.
（i）由③可得SΔABC=12acsinB=1534，所以ac=15，
由①可得csB=a2+c2-b22ac=-3c2ac=-32a=-12，
所以a=3，c=5，
代入a2-b2+c2+3c=0，解得b=7，
由asinA=bsinB，解得sinA=3314.
（ii）由正弦定理ADsin60∘=ABsin∠ADB，CDsin60∘=BCsin∠BDC，所以ADCD=ABBC，
解得AD=358.
在ΔADB中，由正弦定BDsinA=ADsin60∘，所以BD=158.
1. 【答案】-43，2（A）BC
（B）CB
（C）BD
（D）DB
（A）f(-52)a
（10）设点A(1,0)，N(-2,3)，直线l：x+ay+2a-1=0，AM⊥l于点M，则|MN|的最大值为
（A）34
（B）6
（C）4
（D）32+1
①(0,0)是曲线C上的点；
②曲线C是中心对称图形；
③记A(-3,0),B(3,0)，P为曲线C上任意一点，则△PAB面积的最大值为6.
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
A地区
B地区
[20,40)
40
30
[40,60)
120
20
[60,80)
160
40
[80,100]
80
10
合计
400
100
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
0
单调递增
（10）B
X
0
1
2
P
2235
1235
135