四川省大数据智学领航2025届高三下学期第二次教学质量联合测评 数学试题（含解析）

这是一份四川省大数据智学领航2025届高三下学期第二次教学质量联合测评 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x=n2,n∈Z}，B={x|x=n4,n∈Z}，则( )
A. A=BB. A⊆BC. A⊇BD. A∩B=⌀
2.若复数z满足(1+i)z=i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.命题“∀x∈R，2x+1>0”的否定是( )
A. ∀x∉R，2x+1>0B. ∀x∈R，2x+1≤0
C. ∃x∈R，2x+1>0D. ∃x∈R，2x+1≤0
4.若cs40∘=a，则sin80∘=( )
A. 2aB. -2aC. 2a 1-a2D. -2a 1-a2
5.已知向量a，b满足|a|=|b|=2，(2a-b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.若随机变量X的分布列如下表，表中数列{pn}是公比为2的等比数列，则E(X)=( )
A. 117B. 137C. 157D. 177
7.已知直线l:kx+y-2k-1=0与曲线C:x2+y2+2x=15相交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为( )
A. 6B. 10C. 2 6D. 8
8.已知函数f(x)=x1-x,x1,若关于x的方程|f(x)|=m(m为实常数)有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x10,λ+μb>0)的离心率为 32，左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，且四边形F1B1F2B2的面积为8 3．
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P，Q为椭圆上异于B1，B2的两点，记直线B1P，B2Q的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1．
①证明：直线PQ过定点D;
②设直线B1P与直线B2Q交于点E，记直线DE的斜率为k3，求k1+k2k3的值．
19.(本小题17分)
在高三年级排球联赛中，A，B两支队进入到了比赛决胜局.该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利.假定该局比分已经达到了14:14，此后每球比赛记为第n球，A队在第n球比赛中得分的概率为pn，且p1=p;从第2球起，若A队发球，则此球A队得分的概率为23，若B队发球，则此球A队得分的概率为q(00恒成立，
故g(x)在(0,+∞)递增，
又g(1)=0，则
方程x02+lnx0-1=0有唯一解x0=1，
则k=f'(x0)=f'(1)=2．
16.【解析】(1)因为2 3S⋅csC+c2sinAsinB=0，
则2 3⋅12absinC⋅csC+c2sinAsinB=0，
则 3absinCcsC+c2sinAsinB=0，
由正弦定理，得asinA=bsinB=csinC，则a=csinAsinC，b=csinBsinC，
则 3⋅c2sinAsinBsin2C⋅sinCcsC+c2sinAsinB=0，
即 3⋅c2sinAsinBcsCsinC+c2sinAsinB=0，
则 3csC=-sinC，即tanC=- 3，
又C∈(0,π)，则C=2π3；
(2)因为AD=2DB，所以S△ACD=2S△BCD，
由于CD平分∠ACB，∠ACB=2π3，所以∠ACD=∠BCD=π3，
可得12b⋅CD⋅sinπ3=2×12a⋅CD⋅sinπ3，
则12b×2× 32=2×12a×2× 32，化简得b=2a．
又S=S△ACD+S△BCD，
可得12absin2π3=12b⋅CD⋅sinπ3+12a⋅CD⋅sinπ3，
则12a×2a× 32=12×2a×2× 32+12a×2× 32，
得到a=3，那么b=2a=6．
则c2=a2+b2-2abcsC=32+62-2×3×6×(-12)=63，
则c=3 7．
17. (1)证明：翻折前，由已知可得，DC= //BE，且BE=CE，则四边形BECD为菱形，
∴O为BC的中点，∴OD⊥BC，OE⊥BC，
翻折后，OP⊥BC，∵OP∩OD=O，OP、OD⊂平面POD，∴BC⊥平面POD，
在菱形ABCD中，AD/​/BC，∴AD⊥平面POD；
(2)方法一：由(1)知，BC⊥平面POD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴平面POD⊥平面ABCD，
如图，在平面POD中过点O作Oz⊥OD，
又平面POD∩平面ABCD=OD，∴Oz⊥平面ABCD，即直线OD，OB，Oz两两垂直．
以O为坐标原点，直线OD，OB，Oz分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设|BC|=2，则O(0,0,0)，D( 3,0,0)，A( 3,2,0)，B(0,1,0)，C(0,-1,0)．
令P(a,0,b)，其中a2+b2=3，a∈(- 3, 3)，b∈(0, 3]，
则AP=(a- 3,-2,b)，平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，
设直线PA与平面ABCD所成角为α，
则sinα=|cs|=|b| (a- 3)2+(-2)2+b2，
∴sin2α=b2a2-2 3a+3+4+b2=3-a210-2 3a，
设f(x)=3-x210-2 3x，x∈(- 3, 3)，则f'(x)=(x-3 3)( 3x-1)2(5- 3x)2，
易得f(x)在(- 3, 33)上单调递增，在( 33, 3)上单调递减，
∴f(x)的最大值为f( 33)=13，
∴当a= 33，b=2 63时，sinα取得最大值 33，此时P( 33,0,2 63)，
∵OD⊥BC，OP⊥BC，∴∠POD为二面角P-BC-D的平面角，
∴cs∠POD= 33OP= 33 3=13，
故平面PBC与平面ABCD夹角的余弦值为13．
方法二：如图，过点P作PE⊥OD，垂足为E，连接AE，
∵AD⊂平面ABCD，AD⊥平面POD，∴平面ABCD⊥平面POD，
∵平面ABCD∩平面POD=OD，PE⊂平面POD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角，设为α，
由(1)知，∠POE是平面PBC与平面ABCD的夹角，设为θ．
设AB=2，则PE= 3sinθ，AE= 4+3(1-csθ)2，
∴tanα=PEAE= 3sin2θ4+3(1-csθ)2，
令1-csθ=x(00，当23