湖北省黄冈市八模2025届高三模拟测试（八） 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省黄冈市八模2025届高三模拟测试（八） 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．5C．D．
3．已知函数的导数为，且，则（ ）
A．B．C．1D．
4．已知数列是等差数列，且，则（ ）
A．0B．C．D．
5．已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
6．如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成．已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台．若圆锥容器的高为，则此圆台的高为（ ）

A．B．C．D．
7．已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为，
B．一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大
C．若随机变量，则
D．若随机变量，且，则
10．设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上单调递减
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
11．如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．存在点P，使得
C．当与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球的体积为
D．若M为的中点，则三棱锥的体积的最大值为
三、填空题
12．若为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项为 .
13．已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 .
14．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．在中，角，，的对边分别为，，，已知且.
（1）求角；
（2）若为的中点，求线段长的取值范围.
16．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且.
（1）证明：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
17．某学校为了推选一名羽毛球选手参加市级联赛，对成绩都非常优秀的甲、乙两名选手进行了五轮综合测试，测试成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）．
（1）根据以上信息，结合概率统计知识，你倾向于选派哪一名选手参加比赛？说明理由．
（2）若甲、乙两名选手进行对抗赛，由于两人实力相当（即甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为），特制订如下规则：当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束．假设每局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
18．已知函数．
(1)求曲线y=fx在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx关于直线对称.
19．定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）.
（1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等；
（2）直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上；
（3）若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为对数函数是上的增函数，
所以由，得，则；
因为指数函数是上的减函数，
所以由，得，则，
由此，.
故选B.
2．【答案】A
【详解】设，则，
由，得，即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选A．
3．【答案】B
【详解】由得，当时，，解得，所以，.
故选B
4．【答案】A
【详解】由等差数列公式得：，
所以，
所以.
故选A.
5．【答案】D
【详解】双曲线的两条渐近线方程分别为，易知.
又，解得.所以，
所以的离心率为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】方法1：由题可得，根据相似比，细沙的体积占圆锥容器体积的，即细沙堆成的圆台的体积占圆锥容器体积的，
所以圆台上方的空白小圆锥体积占圆锥容器体积的，
因此圆台上方的空白小圆锥的高为，
则圆台的高为．
方法2：设圆锥的底面半径为，圆台的上底面半径为，圆台的高为，如图所示，

由相似比可得，，即．
所以，
所以，整理得，即，
所以.
故选D.
7．【答案】D
【详解】数列中，，当时，，即，
当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此，，依题意，对任意正整数n恒成立，
令，由，得，即数列单调递减，
则，于是，所以实数的取值范围是.
故选D
8．【答案】A
【详解】由，得，
因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，，
又，所以，
即，所以，所以8是的一个周期，
所以，
由得，
由得，
又，所以，
所以，即，所以，
所以8也是的一个周期，
所以，得，
所以，所以.
故选A.
9．【答案】AD
【详解】对于A选项，数据的极差为6，则数据的极差为，
数据的方差为2，则数据的方差为，故A正确；
对于B选项，由题意可知，若再插入一个数，则平均数变为，即平均数不变，
而原来的数据的方差为，
同理可算得新数据的方差为，所以方差会变小，故B错误；
对于C选项，若随机变量，则，故C错误；
对于D选项，若随机变量，且，
则，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】，
对于A，，当时，，
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减，故A正确；
对于B，若且，则，故B错误；
对于C，若，则，
若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；
对于D，，可知当时，
是奇函数，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABC
【详解】A.由正六边形的性质得，，
∵平面，平面，∴平面，选项A正确.
B.当平面时，由平面得，
故存在点P，使得，选项B正确.
C.由为圆直径得，.
当平面时，由平面得，
∵平面，，∴平面，
此时与平面所成的角最大，为，
记圆柱上下底中心连线的中点为，则，
故为三棱锥的外接球的半径，
∵，∴，
∴三棱锥的外接球的体积为，选项C正确.
D.由题意得，.
∵在底面圆上，点到的距离最大，为，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，三棱锥的体积最大，
此时体积，选项D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】因为为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第六十百分位数，
又，所以，
所以的展开式的通项为（且），
令，解得，
所以展开式的常数项为.
13．【答案】
【详解】由抛物线的对称性，如图，不妨设交点为，
且满足，则切线斜率，
故由题知：，故解得：，
代入圆方程可得：，故解得：.
14．【答案】
【详解】如图，作出函数的图象，
令，则，
当时，由，得或，
即或，
若方程只有一个解，
则，解得，
若方程只有一个解，
则，解得，
此时方程必有解，与题意矛盾，所以，
当时，由，得，即，
令，解得，
要使方程只有一个解，
则，解得，
综上所述，a的取值范围是.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）点为的中点，则，
，
因为，由（1）可知，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，求出，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立，
故，又，故，
故，即的取值范围为.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且点为线段靠近的三等分点
【详解】（1）取的中点为，连接、，作图如下：
因为四边形是边长为正方形，所以，，
在中，，则，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）易知是以为斜边的等腰直角三角形，且为的中点，则，
又因为平面，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、，
设，则，设，，
可得，解得，所以，
则，，
设平面的法向量，可得，
令，则，，所以平面的一个法向量，
由图易知平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
化简可得，解得或（舍去），
所以存在满足题设条件的点，点为线段靠近的三等分点.
17．【答案】（1）选择甲，理由见解析；
（2）.
【详解】（1）设甲、乙两名选手的平均成绩分别为，，方差分别为，，
，．
，
，
显然，，所以倾向于选派甲参加比赛.
（2）设比赛结束时比赛局数为随机变量X，
由比赛结束的条件“当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束”，
得比赛局数X的取值只能为偶数，即X的可能值为：2，4，6，…，20，
，
当时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，
前两局二人各胜一局的概率为，则，
当时，双方前两局，前四局，…，前局的胜负局数均相同，且第局，第X局均为甲胜或乙胜，
设，则，
显然也满足上式，
当时，说明双方前两局、前四局、一直到前十八局的胜负局数均相同，
因此，
于是X的分布列为
数学期望，
即，
因此，
两式相减得，
所以.
18．【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；
（3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称.
【详解】（1）切点为,
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得.
（2）由题意可知，则Fx的定义域为，
，，
当时，，则Fx在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则Fx在上单调递减，在上单调递增,
综上所述，当时，Fx在上单调递减；
当时，Fx在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，
则关于直线对称，所以，
由
，
可知曲线y=gx关于直线对称．
19．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）是定值，且定值为
【详解】（1）对于椭圆，则，，，
所以，椭圆的离心率为，
对于椭圆（且），其标准方程为，
则，，，其离心率为.
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，
设点，直线的方程为，
联立可得，
，
化简得，即①，
用代换①中的得，
①②得，化简，
即点在椭圆上，故点在与椭圆的相似椭圆上.
（3）椭圆的标准方程为，所以点、，
设点，易知直线、的斜率都存在且不为零，
所以，
因为点在椭圆上，所以，即，
所以.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，
，
设点、，则，，
所以
，
用代换可得，
所以，故的值为定值，且该定值为.
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
甲的分数
7.2
7.3
7.6
8
7.9
乙的分数
6
6.3
9.5
9.2
7
X
2
4
6
8
…
18
20
P
…