湖北省黄冈市2025届八模高三模拟测试（八）数学试卷（解析版）

这是一份湖北省黄冈市2025届八模高三模拟测试（八）数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为对数函数是上的增函数，
所以由，得，则；
因为指数函数是上的减函数，
所以由，得，则，
由此，.
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
由，得，即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：A．
3. 已知函数的导数为，且，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】由得，当时，，解得，所以，.
故选：B
4. 已知数列是等差数列，且，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】由等差数列公式得：，
所以，
所以.
故选：A.
5. 已知双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，且满足，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线的两条渐近线方程分别为，易知.
又，解得.所以，
所以的离心率为.
故选：D.
6. 如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆锥容器组成．已知最初沙漏中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台．若圆锥容器的高为，则此圆台的高为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法1：由题可得，根据相似比，细沙的体积占圆锥容器体积的，即细沙堆成的圆台的体积占圆锥容器体积的，
所以圆台上方的空白小圆锥体积占圆锥容器体积的，
因此圆台上方的空白小圆锥的高为，
则圆台的高为．
方法2：设圆锥的底面半径为，圆台的上底面半径为，圆台的高为，如图所示，

由相似比可得，，即．
所以，
所以，整理得，即，
所以.
故选：D.
7. 已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】数列中，，当时，，即，
当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此，，依题意，对任意正整数n恒成立，
令，由，得，即数列单调递减，
则，于是，所以实数的取值范围是.
故选：D
8. 已知函数定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由，得，
因为是奇函数，所以也是奇函数，所以，.
又，所以，
即，所以，所以8是的一个周期，
所以，
由，得.
由，得，
又，所以，
所以，即，所以，
所以8也是的一个周期，
所以，得，
所以，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为，
B. 一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，且，则
【答案】AD
【解析】
对于A选项，数据的极差为6，则数据的极差为，
数据的方差为2，则数据的方差为，故A正确；
对于B选项，由题意可知，若再插入一个数，则平均数变为，即平均数不变，
而原来的数据的方差为，
同理可算得新数据的方差为，所以方差会变小，故B错误；
对于C选项，若随机变量，则，故C错误；
对于D选项，若随机变量，且，
则，故D正确.
故选：AD.
10. 设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，在上单调递减
B. 若且，则
C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】ACD
【解析】，
对于A，，当时，，
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减，故A正确；
对于B，若且，则，故B不正确；
对于C，若，则，
若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；
对于D，，可知当时，
是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图是底面半径为1，高为2圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 存在点P，使得
C. 当与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球的体积为
D. 若M为的中点，则三棱锥的体积的最大值为
【答案】ABC
【解析】A.由正六边形的性质得，，
∵平面，平面，∴平面，选项A正确.
B.当平面时，由平面得，
故存在点P，使得，选项B正确.
C.由为圆直径得，.
当平面时，由平面得，
∵平面，，∴平面，
此时与平面所成的角最大，为，
记圆柱上下底中心连线的中点为，则，
故为三棱锥的外接球的半径，
∵，∴，
∴三棱锥的外接球的体积为，选项C正确.
D.由题意得，.
∵在底面圆上，点到的距离最大，为，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，三棱锥的体积最大，
此时体积，选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项为__________.
【答案】
【解析】因为为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第六十百分位数，
又，所以，
所以的展开式的通项为（且），
令，解得，
所以展开式的常数项为.
故答案为：
13. 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数______.
【答案】
【解析】由抛物线的对称性，如图，不妨设交点为，
且满足，则切线斜率，
故由题知：，故解得：，
代入圆方程可得：，故解得：.
故答案为：.
14. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】如图，作出函数的图象，
令，则，
当时，由，得或，
即或，
若方程只有一个解，
则，解得，
若方程只有一个解，
则，解得，
此时方程必有解，与题意矛盾，所以，
当时，由，得，即，
令，解得，
要使方程只有一个解，
则，解得，
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且.
（1）求角；
（2）若为的中点，求线段长的取值范围.
解：（1）由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）点为的中点，则，
，
因为，由（1）可知，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，求出，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立，
故，又，故，
故，即取值范围为.
16. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且.
（1）证明：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
（1）证明：取的中点为，连接、，作图如下：
因为四边形是边长为正方形，所以，，
在中，，则，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：易知是以为斜边的等腰直角三角形，且为的中点，则，
又因为平面，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、，
设，则，设，，
可得，解得，所以，
则，，
设平面的法向量，可得，
令，则，，所以平面的一个法向量，
由图易知平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
化简可得，解得或（舍去），
所以存在满足题设条件的点，点为线段靠近的三等分点.
17. 某学校为了推选一名羽毛球选手参加市级联赛，对成绩都非常优秀的甲、乙两名选手进行了五轮综合测试，测试成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）．
（1）根据以上信息，结合概率统计知识，你倾向于选派哪一名选手参加比赛？说明理由．
（2）若甲、乙两名选手进行对抗赛，由于两人实力相当（即甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为），特制订如下规则：当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束．假设每局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
解：（1）设甲、乙两名选手的平均成绩分别为，，方差分别为，，
，．
，
，
显然，，所以倾向于选派甲参加比赛.
（2）设比赛结束时比赛局数为随机变量X，
由比赛结束的条件“当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束”，
得比赛局数X的取值只能为偶数，即X的可能值为：2，4，6，…，20，
，
当时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，
前两局二人各胜一局的概率为，则，
当时，双方前两局，前四局，…，前局的胜负局数均相同，且第局，第X局均为甲胜或乙胜，
设，则，
显然也满足上式，
当时，说明双方前两局、前四局、一直到前十八局的胜负局数均相同，
因此，
于是X的分布列为
数学期望，
即，
因此，
两式相减得，
所以.
18. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程.
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线 关于直线对称.
（1）解：切点为.
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得；
（2）解：由题意可知，则的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线关于直线对称．
19. 定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）.
（1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等；
（2）直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上；
（3）若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
（1）证明：对于椭圆，则，，，
所以，椭圆的离心率为，
对于椭圆（且），其标准方程为，
则，，，其离心率为.
（2）证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，
设点，直线的方程为，
联立可得，
，
化简得，即①，
用代换①中的得，
①②得，化简，
即点在椭圆上，故点在与椭圆的相似椭圆上.
（3）解：椭圆的标准方程为，所以点、，
设点，易知直线、的斜率都存在且不为零，
所以，
因为点在椭圆上，所以，即，
所以.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，
Δ=192k4-41+4k212k2-4=16k2+1>0，
设点、，则，，
所以
，
用代换可得，
所以，故的值为定值，且该定值为.第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
甲的分数
7.2
7.3
7.6
8
79
乙的分数
6
63
9.5
9.2
7
X
2
4
6
8
…
18
20
P
…