广东省韶关市新丰县2025届九年级学业水平监测（一）数学试卷(含解析)

这是一份广东省韶关市新丰县2025届九年级学业水平监测（一）数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的结果是（ ）
A．B．1C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一个书架上有三本书，分别是语文、数学、历史，从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．截止年月日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
6．式子有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
8．判断方程的根的情况是（ ）
A．有一个实根B．有两个相等实根
C．有两个不等实根D．没有实根
9．点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法判断
10．已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．一组数据6，6，6，7，8，9的众数是 ．
12．计算： ．
13．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为 ．
14．若，则 ．
15．如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．计算：
17．如图，在中，，
(1)尺规作图：作的角平分线，与交于点D；
(2)求的度数．
18．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元．
(1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元?
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个?
19．如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的长．
20．如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，）
(1)求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
(2)求的长．
21．综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．
方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________；
动手操作二：
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
拓展延伸：
（2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？
22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
23．综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A．
(1)【操作判断】
如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】
如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：；
(3)【拓展延伸】
点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值．
《2025年广东省韶关市新丰县九年级学业水平监测（一）数学试题》参考答案
1．C
解：．
故选：C．
2．B
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
3．B
解：从中随机抽取一本是数学书的概率是，
故选：．
4．B
解：A、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意；
B、，运算正确，符合题意；
C、，运算错误，不符合题意；
D、，运算错误，不符合题意；
故选：B．
5．C
解：亿，
故选：．
6．B
解：式子有意义，
，
．
故选：B．
7．C
解：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故选：C．
8．D
∵，
∴方程无实数根，
故选：D．
9．A
解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选：A．
10．D
根据题意，不等式的解是，
则当时，函数图象位于轴下方，据此只有D选项符合题意，
故选D
11．6
解：数据6，6，6，7，8，9中，出现次数最多的是6，
∴众数是6；
故答案为：6．
12．
解：，
故答案为：．
13．
解：关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，
则不等式组解集为，
故答案为：
14．7
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
15．5
解：连接，
是的中点，
，
连接，
同理可得，
，
，
，
，
．
故答案为：5．
16．5
解：原式
17．(1)见详解
(2)
（1）解：作的角平分线，如图所示：
（2）解：，，
，
是的角平分线
∴，
18．(1)每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元
(2)最多购买A种娃娃66个
（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元．
由题意可得，
解得，
则．
即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元；
（2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个．
，
解得，
因为m为整数，所以m最大为66，
即最多购买A种娃娃66个．
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是切线；
（2）解：设，
在中，，，
∴，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴．
20．(1)米
(2)米
（1）解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，，
在中，
∴，
∴米，
即的长为2.55米；
（2）解：在中，，米，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴（米），
即的长为米．
21．（1）12，864；（2）486
解：（1）该长方体纸盒的底面边长为：
该长方体纸盒的体积为：；
解：（2）裁剪后折叠成长方体的长为：，
裁剪后折叠成长方体的宽为：
裁剪后折叠成长方体的高为：3
∴长方体纸盒的表面积为
22．（1）抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线；（2）当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；（3）
解：（1）∵抛物线经过B（6，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线；
（2）如图所示，连接PC，PA，PB，
∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，3），
∵A、B是抛物线与x轴的交点，
∴A、B关于直线对称，
∴PA=PB，
∴△PAC的周长=PC+AC+PA=PC+PA+PB，
∴要使△PAC周长最小，即要使PC+PB最小，
∴当P、C、B三点共线时，PC+PB最小，此时P在位置，
设直线BC解析式为，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为，
令x=2，则，
∴的坐标为（2，2），
∴当P点坐标为（2，2）时，使得△PAC的周长最小；
（3）如图所示，设M点坐标为（m，），
∵MN∥y轴，且N在直线BC上，
∴N点坐标为（m，），
∴
，
∵，
∴当时，MN有最大值．
23．(1)画图见解析，90
(2)见解析
(3)或
（1）解：如图，即为所求，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：90；
（2）证明：过P作于C，
由（1）知：四边形是矩形，
∵点P在的平分线上，，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G，
由（2）知，
设，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G
由（2）知：四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．