广西邕衡教育名校联盟2025届高三下学期新高考5月全真模拟联合测试 数学试题（含解析）

这是一份广西邕衡教育名校联盟2025届高三下学期新高考5月全真模拟联合测试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
3．某货架放有7包不同的薯片，6瓶不同的饮料，从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，不同的取法有（ ）
A．19种B．20种C．126种D．294种
4．已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（ ）
A．B．C．D．
5．若为奇函数，则实数的值等于（ ）
A．－1B．C．D．1
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．在正四棱台中，，棱与平面所成角的正弦值为，则该棱台的体积为（ ）
A．40B．C．56D．112
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ）
A．
B．当时，
C．若点的坐标为，则周长的最小值为8
D．当时，
10．某工人对某产品进行质量检测有甲、乙两套工序，且完成检测至少需要甲、乙两套工序中的一套．记事件“该工人在检测过程中使用过甲套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过乙套工序”，事件“该工人在检测过程中使用过甲、乙两套工序”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两套工序中的一套”，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．与为互斥事件B．与互为对立事件
C．D．
11．已知曲线，下列结论正确的有（ ）
A．直线是曲线的一条对称轴
B．曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合
C．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2
D．曲线上恰有3个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题
12．已知函数，则在点处的切线方程为 ．
13．已知曲线，记的一条渐近线与轴的夹角为，则 ．
14．已知正项数列的前项和为，其中，且．
（1）数列的通项公式 ；
（2）记集合，非空集合，满足，若集合中的任意3个元素的和都能被3整除，则集合的元素个数的最大值为 ．
四、解答题
15．已知分别为三个内角的对边，，且满足．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
16．已知甲、乙进行一场中国象棋比赛，每局棋甲胜的概率为，乙胜的概率为，每局棋胜负结果相互独立，约定先达到净胜2局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局）．
（1）求恰2局棋下完时甲获得比赛胜利的概率以及恰4局棋下完时甲获得比赛胜利的概率
（2）若规定比赛总局数达到6局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数的分布列；
（3）若比赛不限局数，求甲最终获胜的概率．
（定义：若无穷等比数列的公比满足，则所有项之和为．）
17．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求证：对任意的，恒成立；
（3）若的极大值为，求的取值范围．
18．如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．

（1）求证：是直角三角形；
（2）若，求三角形面积的最大值；
（3）若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围．
19．已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为．
（1）求曲线的方程；
（2）以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、．
（ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等；
（ⅱ）求点的轨迹方程．
参考答案
1．【答案】B
【详解】依题意，，所以对应点位于第二象限．
故选B.
2．【答案】B
【详解】注意到当时，，则是假命题，是真命题；
又注意到时，，则为真命题，是假命题；
所以和都是真命题．
故选B.
3．【答案】C
【详解】7包不同的薯片任取2包有种取法，6瓶不同的饮料任取1瓶有6种取法，
现从这些货品中任取2包薯片和1瓶饮料，
根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种．
故选C．
4．【答案】C
【详解】已知，由得，
两边平方可得，所以，
则，可得，
则，由于，所以,
故与夹角的大小等于.
故选C．
5．【答案】C
【详解】，由，得或，
所以函数的定义域为，
因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，则，此时，
，
即，函数为奇函数，所以．
故选C．
6．【答案】B
【详解】由，得，
因为，所以，
.
故选B．
7．【答案】C
【详解】
如图，分别取的中点,则分别为上下底面的中心，
则即为正四棱台的高.取中点,连接，则有.
又正四棱台中，，，得.
设正四棱台的高为，棱与平面所成角为，
则,得.
再由上底面面积为，下底面面积为.
正四棱台的体积.
故选C.
8．【答案】A
【详解】因为时，，则在上单调递增.
当时，，所以时，恒成立.
又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数.
不等式，对任意的恒成立，
即，，
又，所以.
令，，
令，则.
在上恒成立，所以函数在上单调递减.
在时有所以，
即实数的取值范围为．
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确；
B选项，当时，联立得，所以B选项错误；
C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确；
D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，
设，则，，
根据三角形相似得，所以，
所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确.
故选ACD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，由，得，故A错误；
对于B，“该工人在检测过程中仅使用甲工序或仅使用乙工序或甲乙都用”，易知此为全事件，，故B正确；
对于C，由，得C正确；
对于D，由，则D正确．
故选BCD.
11．【答案】ABC
【详解】对于A，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得，
即，满足曲线方程，故A正确；
对于B，将点关于直线对称的点代入曲线的方程可得，
即，满足曲线方程，
将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得，
即，满足曲线方程，
将点关于轴对称的点代入曲线的方程可得，
即，满足曲线方程，
所以曲线关于轴，轴以及直线对称，
所以曲线的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，故B正确；
对于C，因为，
所以，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，故C正确；
对于D，将和联立，解得，
所以可得圆与曲线相切于点，
由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，
而圆在第一象限内整数点只有，但，所以曲线在第一象限内不经过任何整点，
再结合曲线的对称性可知，曲线在二三四象限内也不经过任何整点，
又在曲线上，故曲线上只有1个整点，故D错误．
故选ABC
12．【答案】
【详解】由，则，
切线斜率为，
则切线方程为，即.
13．【答案】/
【详解】曲线，
则的一条渐近线方程的斜率为，
所以，又，
则，
解得.
14．【答案】675
【详解】（1）因为，
所以当时，，
则，即，
整理得，
因为，所以，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，则，
（2）由，将中的元素分为3部分，
①被3除余1的：1，4，7，．．．，2023，共675个数
②被3除余2的：，共674个数
③被3除整除的：，共674个数
满足的集合中元素个数的最大值为675个.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由已知和正弦定理得：，
因为，所以，
由辅助角公式得：，即，
因为，所以，所以或，
故或，因为，所以．
（2）的面积，所以，
由余弦定理得：，
所以，
所以的周长为．
16．【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）
【详解】（1），.
（2）可能的取值为2，4，6．
；
；
；
变量的分布列如下：
（3）方法一：
比赛只进行一局无法分出最终胜负；比赛每进行两局后会有三个不同的结果：
甲连胜两局获胜结束，甲连负两局由乙获胜而结束，甲一胜一负回到初始状态，
根据递推关系得：，所以．
方法二：
将甲2局获胜，4局获胜，6局获胜，……局获胜，……的所有情况进行累加：
即是一个无穷等比数列的所有项之和，其中．
17．【答案】（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）当时，，则．
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）当时，．
要证，即证．
构建，则．
构建，则．
所以函数在上单调递增，则，即，
可知函数在上单调递增，
则，即．
（3）因为．
当时，则，
令，得；令，得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
此时只有极小值，不符合题意；
当时，令，得．
因为的极大值为，则，解得，
此时当或时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的极大值为，符合题意；
综上，的取值范围为．
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）在三棱锥中，由平面，面，得，
又平面，则平面，而平面，
则，又平面，于是平面，
又平面，因此，所以为直角三角形．
（2）由，以及，得为中点，，
由（1）知，则在直角三角形中，有，
因此，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
（3）以为原点，直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

设，由，得，
即，且，则，
则，
，设平面的一个法向量为，
则，令，得平面的一个法向量为，
，
整理得，，
设，要存在，使与平面所成角为，
则在上有零点．而函数图象的对称轴，
又，只需满足，即，解得，
所以的取值范围是．
19．【答案】（1）
（2）（ⅰ），，证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）由于点在左支，则有，
由，有，又，联立解得（舍负）．
则，，曲线的方程为．
（2）
（ⅰ）首先是表示经过点的直线，
下面证明其恰是以点为切点曲线的切线．
联立与可得，所以有，
这说明是以点为切点曲线的切线．
其次，由于，则有，
同理有，
注意到，且，
则有，
同理有．
所以，这说明与相等或互补（舍去）．
所以有，记．则有，
，因此有．
（ⅱ）延长与交于点，易知，则，
则三角形为等腰三角形．连接，由于分别是的中点，
则有，
所以点的轨迹为以圆心，以为半径的圆，其轨迹方程为，
注意到，
其中，所以有，
设，则有，联立，解得，
所以点的轨迹方程为．
2
4
6