第一章 空间向量与立体几何检测卷-2025年新高二数学（高一升高二）暑假预习课试题（含答案）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10522" 第一章 空间向量与立体几何全章综合检测卷 PAGEREF _Tc10522 \h 1
\l "_Tc13917" 参考答案与试题解析 PAGEREF _Tc13917 \h 1
\l "_Tc17779" 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） PAGEREF _Tc17779 \h 2
\l "_Tc25541" 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） PAGEREF _Tc25541 \h 4
\l "_Tc5503" 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） PAGEREF _Tc5503 \h 6
\l "_Tc19439" 四、解答题（共6小题，满分70分） PAGEREF _Tc19439 \h 7
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系Oxyz中，点M3,−2,−1关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．−3,−2,1B．3,−2,1
C．−3,2,−1D．−3,2,1
2．（5分）（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则DA−12DB+DC=（ ）
A．−AEB．−ABC．AED．AB
3．（5分）（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅(PA+PB)等于（ ）
A．109B．263C．823D．163
4．（5分）（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若PA=a,PB=b，PC=c，则用基底{a,b,c}表示向量BE为（ ）
A．12a−12b+12cB．12a−32b+12c
C．12a−12b−12cD．12a−32b+32c
5．（5分）（23-24高二下·辽宁·阶段练习）下列选项中，不正确的命题是（ ）
A．若两条不同直线l，m的方向向量为v1，v2，则l//m⇔v1//v2
B．若OA,OB,OC是空间向量的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则点D在平面ABC内，且D为△ABC的重心
C．若a,b,c是空间向量的一组基底，则a+b,2c,a+b+c也是空间向量的一组基底
D．若空间向量a，b，c共面，则存在不全为0的实数x，y，z使xa+yb+zc=0
6．（5分）（23-24高二下·江苏连云港·期中）设x,y∈R，向量 a=x,1,1,b=1,−1,y,c=2,−2,2,且a⊥c,b//c，则x+y的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
7．（5分）（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线l是正方体体对角线所在直线，P,Q,R为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足l⊥平面PQR的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）
C．（1）（4）D．（2）（4）
8．（5分）（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥P−ABCD中，E为棱PC的中点，则下列判断正确的是（ ）
A．BE//平面PAD，且BE到平面PAD的距离为3
B．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成角大于30°
C．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成角小于30°
D．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成角等于30°
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（ ）
A．若存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，则点P，M，A，B共面；
B．若p与a,b共面，则存在实数x，y，使p=xa+yb；
C．若向量a、b所在的直线是异面直线，则向量a、b一定不共线；
D．若a、b、c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc．
10．（5分）（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量a=2,1,−1，b=3,4,5，则下列结论正确的是（ ）
A．5a=3bB．2a+b∥a
C．a⊥5a−6bD．a在b上的投影向量为−310,−25,−12
11．（5分）（22-23高二下·山东菏泽·期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，且∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，AB=AD=4，AA1=5.则下列结论正确的有（ ）
A．AC1⊥BDB．BC1⋅A1C=9
C．BD1=85D．OB1=12AB−12AD−AA1
12．（5分）（23-24高二上·四川成都·期末）如图，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1上，点M为体对角线BD1靠近D1点的三等分点，点E、F为棱AB、 CC1的中点，点P在平面MEF上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．平面MEF与底面ABCD的夹角余弦值为57777；
B．点D到平面MEF的距离为67711；
C．点D到点P的距离最大值为6345；
D．设平面MEF与正方体棱的交点为T1、… 、Tn，则n边形T1…Tn最长的对角线的长度大于172.
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC,CB⊥AB,AB=BC=a,PA=b，则PC⋅AB= .
14．（5分）（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若AG=xAB+yAA1+zAC，则x+y+z= .
15．（5分）（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知OA=1,0,0，OB=1,1,0, OC=1,1,1，点M在直线OC上运动，则csOA,MB的最大值为 .
16．（5分）（23-24高二上·江西南昌·期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q在线段B1C上运动，直线C1Q与平面A1C1D所成角的正弦值的取值范围为 .
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)AB+AD+AA′；
(2)DD′−AB+BC；
(3)AB+AD+12(DD′−BC).
18．（12分）（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知a，b，c是空间中不共面的向量，若AB=2a−b+c，AC=a+2b−c，AD=−a+mb+nc.
(1)若B,C,D三点共线，求m,n的值；
(2)若A,B,C,D四点共面，求mn的最大值．
19．（12分）（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．
(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求csBD1,AC．
20．（12分）（23-24高二上·上海·期中）已知空间三点A−2,1,2、B−1,2,2、C−3,1,4，设AB=a,AC=b.
(1)若AD=2DB，求点D坐标；
(2)若向量ka+b与ka−2b互相垂直，求实数k的值；
(3)若向量λa−b与a−λb平行，求实数λ的值.
21．（12分）（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥平面PAB，E、F分别为BC、PC的中点，且PA=AC=2，AB=1，EF=52．
(1)证明：AB⊥平面PAC．
(2)求C到平面AEF的距离．
22． （12分）（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=120°,AB=2，且直线BD1与平面BCC1B1所成角为30°．
(1)求直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高；
(2)在棱AA1上是否能找到一点M，使得平面CD1M与平面BCC1B1的夹角为30°？若能，求出AMAA1的值；若不能，说明理由．