高一升高二数学暑假预习课16讲第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式与8考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式与8考点精讲（学生版），共14页。学案主要包含了 直线的点斜式， 直线的两点式等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24135" 第08讲 直线的方程（一）：直线方程的几种形式 PAGEREF _Tc24135 \h 1
\l "_Tc28279" 一、 直线的点斜式、斜截式方程 PAGEREF _Tc28279 \h 2
\l "_Tc11072" 基础知识 PAGEREF _Tc11072 \h 2
\l "_Tc18697" 考点1 点斜式方程 PAGEREF _Tc18697 \h 2
\l "_Tc24242" 考点2 斜截式方程 PAGEREF _Tc24242 \h 3
\l "_Tc20059" 二、 直线的两点式、截距式方程 PAGEREF _Tc20059 \h 4
\l "_Tc13411" 基础知识 PAGEREF _Tc13411 \h 4
\l "_Tc20087" 考点3 两点式方程 PAGEREF _Tc20087 \h 5
\l "_Tc6691" 考点4 截距式方程 PAGEREF _Tc6691 \h 5
\l "_Tc11796" 三、 直线的一般式方程 PAGEREF _Tc11796 \h 7
\l "_Tc32596" 基础知识 PAGEREF _Tc32596 \h 7
\l "_Tc20103" 考点5 一般式方程 PAGEREF _Tc20103 \h 8
\l "_Tc6537" 考点6 直线一般式方程与其他形式之间的互化 PAGEREF _Tc6537 \h 8
\l "_Tc19043" 四、 方向向量与直线的参数方程 PAGEREF _Tc19043 \h 10
\l "_Tc3882" 基础知识 PAGEREF _Tc3882 \h 10
\l "_Tc21511" 考点7 求解直线的方向向量 PAGEREF _Tc21511 \h 10
\l "_Tc16456" 考点8 由直线的方向向量求直线方程 PAGEREF _Tc16456 \h 11
\l "_Tc11689" 五、 课后作业 PAGEREF _Tc11689 \h 12
\l "_Tc26375" 单选题 PAGEREF _Tc26375 \h 12
\l "_Tc11933" 多选题 PAGEREF _Tc11933 \h 13
\l "_Tc21564" 填空题 PAGEREF _Tc21564 \h 13
\l "_Tc10215" 解答题 PAGEREF _Tc10215 \h 13
一、 直线的点斜式、斜截式方程
基础知识
1．直线的点斜式方程
(1)直线的点斜式方程的定义：
设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.
(2)点斜式方程的使用方法：
①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.
2．直线的斜截式方程
(1)直线的斜截式方程的定义：
设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.
考点1 点斜式方程
【例1.1】（23-24高二上·河南郑州·期末）过点P2,−1，且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A．y=−1B．x=2C．y=2D．x=−1
【例1.2】（23-24高二上·四川达州·期末）经过点P2，2且倾斜角为π4的直线方程是（ ）
A．y=xB．y=x−2C．y=−x+4D．y=x+2
【变式1.1】（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线l过点1,3且与斜率为4的直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A．x+4y−13=0B．4x−y−1=0
C．x+4y−8=0D．4x−y−15=0
【变式1.2】（23-24高二上·山东东营·期末）经过点(1,0)，倾斜角为150°的直线方程是（ ）
A．y=−3x+1B．y=−33x+1C．y=−33x+33D．y=−33x−33
考点2 斜截式方程
【例2.1】（23-24高二上·重庆南岸·期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ）
A．y=x+1B．y=x−1C．y=−x−1D．y=−x+1
【例2.2】（23-24高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）
A．x＝3B．y＝－5
C．2y＝xD．x＝4y－1
【变式2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）与直线y=−x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．y=x+2B．y=x−2
C．y=−x+2D．y=−x+4
【变式2.2】（23-24高二上·四川南充·开学考试）与直线2x−y−1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）
A．y=−12x+4
B．y=−12x+4或y=−12x−4
C．y=12x+4
D．y=12x+4或y=12x−4
二、 直线的两点式、截距式方程
基础知识
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义：
设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程.
(2)两点式方程的使用方法：
①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.
②当时，直线方程为 (或).
③当时，直线方程为 (或).
2．直线的截距式方程
(1)直线的截距式方程的定义：
设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.
(2)直线的截距式方程的适用范围：
选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示
过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.
②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的
坐标求解k，得到直线方程.
考点3 两点式方程
【例1.1】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（ ）
A．y=kx+bB．y−y0=kx−2x0
C．xa+y2b=1D．y−y1y2−y1=x−x1x2−x1x1≠x2,y1≠y2
【例1.2】（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点A3,−5，B−5,5的直线在y轴上的截距为（ ）
A．−54B．54C．−25D．25
【变式1.1】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过1,2，5,3的直线方程是（ ）
A．y−25−1=x−13−1B．y−23−2=x−15−1C．y−15−1=x−35−3D．x−25−2=y−32−3
【变式1.2】（23-24高二·全国·课后作业）经过两点x1,y1、x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1=y−y1y2−y1B．x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1D．y−y1=y2−y1x2−x1x−x1
考点4 截距式方程
【例2.1】（23-24高二上·山西太原·期末）直线y=4x+2在x轴和y轴上的截距分别为（ ）
A．12，2B．−12，2C．12，−2D．−12，−2
【例2.2】（23-24高二上·北京顺义·期中）过点A1,2的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x−y+3=0B．x+y−3=0
C．2x−y=0或x−y+1=0D．2x+y=0或x+y+1=0
【变式2.1】 （23-24高二上·天津和平·期中）经过点1,3且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．x+y=4B．y=x+2
C．y=3x或x+y=4D．y=3x或y=x+2
【变式2.2】（22-23高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l过A−2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（ ）．
A．x+2y=0或x−y+3=0B．x−y−1=0或x−y+3=0
C．x−y−1=0或x+y−3=0D．x+2y=0或x+y−3=0
三、 直线的一般式方程
基础知识
1．直线的一般式方程
(1)直线的一般式方程的定义：
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.
对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.
(2)一般式方程的使用方法：
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.
2．辨析直线方程的五种形式
考点5 一般式方程
【例1.1】（2024高二上·全国·专题练习）过点(−3,0)和(0,4)，的直线的一般式方程为（ ）
A．4x+3y+12=0B．4x+3y−12=0
C．4x−3y+12=0D．4x−3y−12=0
【例1.2】（21-22高二上·北京通州·期中）已知直线l经过点A(1，1)，且斜率为2，则直线l的一般式方程为（ ）
A．y−1=2(x−1)B．y=2x−1C．2x−y−1=0D．x−2y+1=0
【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2，且经过点A1,3；
(2)斜率为3，且在y轴上的截距为4；
(3)经过两点A2,−3, B−1,−5；
(4)在x,y轴上的截距分别为2,−4．
【变式1.2】（23-24高二上·湖北·期中）求分别满足下列条件的直线l的一般式方程．
(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过点4,−3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
考点6 直线一般式方程与其他形式之间的互化
【例2.1】（23-24高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式：
(1)直线的斜率为2，在y轴上的截距是−5；
(2)直线的倾斜角是直线y=−3x+1的倾斜角的一半，且过点−3,2．
【例2.2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式.
(1)经过点B−2,0，且与x轴垂直；
(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(3)经过C−1,5，D2,−1两点.
【变式2.1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件，写出下列直线方程的一般式：
(1)经过点(0,2)，且倾斜角为π3
(2)经过点(1,2)，且一个方向向量为v=(1,3)
(3)在△ABC中，点A(8,4),B(4,−1),C(−6,3)，求BC边上中线所在直线的方程
【变式2.2】（2024高二·全国·专题练习）（1）已知直线l的一般式方程为2x−3y+6=0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距；
（2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.
①斜率是−12，经过点A8,−2；
②经过点B4,2，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是32，−3；
④经过两点P13,−2,P25,−4
四、 方向向量与直线的参数方程
基础知识
1．方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.
如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.
由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确
定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.
考点7 求解直线的方向向量
【例1.1】（23-24高二上·四川绵阳·期末）直线2x−3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．3,2B．2,3C．3,−2D．2,−3
【例1.2】（23-24高三上·江西·阶段练习）已知直线3x+2y−1=0的一个方向向量为v=1,m，则m的值为（ ）
A．233B．−233C．32D．−32
【变式1.1】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）直线2x+y+2=0的一个方向向量为（ ）
A．(1,−2)B．0,−2C．1,2D．2,1
【变式1.2】（23-24高二上·四川自贡·期末）已知直线l的方程为3x+3y+1=0，则下列说法正确的是（ ）
A．倾斜角为120°B．倾斜角为150°
C．方向向量可以为−3,1D．方向向量可以为33,−3
考点8 由直线的方向向量求直线方程
【例2.1】（2023高三·全国·专题练习）过点A1,4的直线的方向向量为m=1,2，则该直线方程为（ ）
A．2x−y+2=0B．2x+y−6=0
C．x−2y+7=0D．x+y−5=0
【例2.2】（23-24高二上·浙江·期中）已知直线l的一个方向向量n=−1,2，且过点−1,2，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y=0B．x−2y+5=0C．x+2y−3=0D．2x−y+4=0
【变式2.1】（23-24高二下·河南·开学考试）已知经过点2,−1的直线l的一个方向向量为1,2，则l的方程为（ ）
A．x−2y−4=0B．2x−y−5=0
C．x+2y=0D．2x+y−3=0
【变式2.2】（22-23高二上·山西运城·阶段练习）已知直线l：2m+1x+m+1y+m=0经过定点P，直线l′经过点P，且l′的方向向量a=3,2，则直线l′的方程为（ ）
A．2x−3y+5=0B．2x−3y−5=0
C．3x−2y+5=0D．3x−2y−5=0
五、 课后作业
单选题
1．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点M1,2且倾斜角为45°的直线方程为（ ）
A．y=x−1B．y=x+1C．y=−x+3D．y=−x−1
2．（23-24高二上·山西大同·期末）直线l过点A4,5，B1,−1，则直线l在y轴上的截距是（ ）
A．32B．3C．−32D．−3
3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x4−y8=1在y轴上的截距为（ ）
A．−8B．8C．−18D．18
4．（2024高二·全国·专题练习）经过两点x1,y1,x2,y2的直线方程都可以表示为（ ）
A．x−x1x2−x1＝y−y1y2−y1
B．x−x2x1−x2＝y−y2y1−y2
C．y−y1x2−x1=x−x1y2−y1
D．y−y1x−x1＝y2−y1x2−x1
5．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点且与直线2x+y−1=0垂直的直线方程为（ ）
A．y=2xB．y=−2x
C．y=12xD．y=−12x
6．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点3,1的直线l的一个方向向量为3,2，则l的方程为（ ）
A．3x+2y−11=0B．2x−3y−3=0
C．2x+3y−9=0D．3x−2y−7=0
7．（23-24高二上·广东佛山·期末）斜率为−34，且经过点1,−1的直线方程为（ ）
A．3x+4y−1=0B．3x+4y+1=0
C．3x−4y−7=0D．3x−4y−1=0
8．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线5x+12y−1=0倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（ ）
A．5x+y−10=0 B．y=−15x+1
C．x−2+y10=1D．5x−y−1=0
多选题
9．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线x−y−2=0的倾斜角为π4
B．直线x−y−2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x−y+3=0
D．过1,4、x0,y0两点的直线方程为y−4y0−4=x−1x0−1
10．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．经过点P（－2，5），且斜率为－34的直线的方程是3x－4y＋26＝0
B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0
C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示
填空题
11．（23-24高三下·浙江·阶段练习）直线3x−4y+3=0的一个方向向量是 .
12．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ．
解答题
13．（2024高二上·全国·专题练习）将直线的方程x−2y+6=0作如下转换：
(1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在y轴上的截距．
(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．
14．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点A−1,2,B1,0．
(1)求直线AB的斜率k和倾斜角θ；
(2)求直线AB在x轴上的截距．
15．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列直线的方程．
(1)经过点2,1，且一个法向量为v=2,−3；
(2)经过点2,−3，且一个方向向量为a=2,4.
16．（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点A−2,3，斜率为3；
(2)经过点B3,0，倾斜角是π6；
(3)经过点C−4,−2，倾斜角是2π3．
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x轴垂直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x轴垂直的直线
①已知在y轴上的截距；②已知斜率
两点式
不能表示与x轴、
y轴垂直的直线
①已知两个定点；②已知两个截距
截距式
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程