河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

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数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
A
C
C
B
C
D
BD
ACD
AC
12．
13．
14．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质以及三角形中位线定理可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）连接，交于，连接，作图如下：
在菱形，因为，所以为的中点，
在中，因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）记的中点为，连接，由题意可知平面，
在菱形中，由，则，易知为等边三角形，
由为的中点，则，由平面，
则，
以为原点，分别以所在是直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
由，，则，
易知，则，且，
由图可得，，，，
则，，
设平面的法向量，由（1）易知，
则，令，则，
所以平面的一个法向量，
由图易知为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则.
16．(1)分布列见解析，1
(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100
【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解；
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解；
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
17．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用待定系数法求得，从而求得椭圆C的方程；
（2）分类讨论直线斜率存在与否的情况，利用韦达定理及向量数量积的坐标表示求得，从而得到直线过定点.
【详解】（1）依题意得，
，又，解得（负值舍去），
所以椭圆方程为.
（2）由（1）得，
当直线的斜率不存在时，可设直线为，
代入，得，所以，
设直线交轴于点，则，
因为，故，
又，所以，则，
即，解得或(舍去)，
所以直线过定点；
当直线的斜率存在时，可设直线，，
联立，消去，得，
则，，
因为，则，即，
又因为，
所以，
即，解得或，
当时，直线过定点；
当时，直线过定点（舍去）；
所以直线直线过定点；
综上：直线直线过定点.
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
18．(1) ；(2)，
【分析】(1)由题意可知即令，当时，.当时，，求解即可.
(2)由题意可知，则，从而确定，再根据，求解，即可.
【详解】(1) 当时，即
令
当时，
当时，，即
检验：时，成立
综上所述：
(2) 当时，即
令
当时，
当时，，即
检验：时，成立
所以
则
令，则
为递增数列，即为递增数列
当时，
【点睛】本题考查已知与的关系求，以及并项求和法求数列的前项，属于较难的题.
19．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）利用导数判断出函数单调性即可求得单调区间；
（2）将不等式转化为在时恒成立，构造函数利用单调性求出即可得出的取值范围；
（3）利用（2）中的结论，当，时，满足，再利用裂项可得，累加求和即可得出结论.
【详解】（1）由函数可知其定义域为，
易知，令可得，
当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为;
（2）由可得，
即在时恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以可得，因此恒成立，
即可得在是单调递减，所以，即；
因此满足题意，所以的取值范围是
（3）由（2）可得取，当时，满足，
即，
所以可得，
即可得.
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用已有结论，再利用数列不等式以及裂项相消求和即可求得结论.0
1
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