河南省2025年高考 数学模拟试卷H4（含解析）

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1.设集合A={x|x3>4}，B={x∈Z|−40)交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，|AB|=4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线x=−2相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E．
(i)证明：∠DEO+∠BMO=π；
(ii)是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为152？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知有穷整数数列A：a1，a2，…，an(n≥4)，满足a1=an=1.记集合Ω为{B：b1，b2，…，bn|b1=bn=1，bi=ai+1−ai−1，或bi=ai−1−ai+1，i=2，3，…，n−1}.若数列A∈Ω，则称数列A是Ω的“恒元”．
(Ⅰ)已知数列A：1，3，4，1，请写出Ω中所有满足b24}={x|x>34}，
B={x∈Z|−470.5+14.31)=P(Z>70.5+σ)
=1−P(70.5−σ≤Z≤70.5+σ)2≈1−0.68272=0.15865，
依题意Y～B(10000,0.15865)，
记n=10000，p=0.15865，
此时P(Y=k)=Cnkpk(1−p)n−k(k=0,1,2,⋅⋅⋅,10000)，
则问题等价于求当k取何值时，P(Y=k)=Cnkpk(1−p)n−k取得最大值，
由P(Y=k)≥P(Y=k+1)P(Y=k)≥P(Y=k−1)，
可得Cnkpk(1−p)n−k≥Cnk+1pk+1(1−p)n−k−1Cnkpk(1−p)n−k≥Cnk−1pk−1(1−p)n−k+1，
化简得pk≥1−pn+1−k1−pn−k≥pk+1，
即1585.65865≤k≤1586.65865，
因为k=0，1，2，…，10000，
所以k=1586．
则当k=1586时，P(Y=k)取得最大值．
(1)利用全概率公式计算即可；
(2)求出X的所有可能取值和相对应的概率，列出其分布列；
(3)先根据频数分布表求出x−，再根据正态分布求出每位顾客中对AI手机“非常满意”的概率，即可利用二项分布求出P(Y=k)，再利用P(Y=k)≥P(Y=k+1)P(Y=k)≥P(Y=k−1)求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18.【答案】y2=2x；
(i)证明过程见解；
(ii)存在，直线l共有4条．
【解析】解：(1)当直线l平行于y轴时，
因为|AB|=4，
所以点(2,2)在抛物线C上，
此时4=2p×2，
解得p=1，
则抛物线C的方程为y2=2x；
(2)(i)证明：易知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x=my+2(m≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)
此时直线l的斜率为kAB=1m，不妨设y1>0，y20，
所以g(x)在(−∞,0)上单调递增，
又g(−1)=−10，
所以存在x0∈(−1,−12)，使得g(x0)=0，
所以f(x)在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,0)上单调递增，
又f(−1)=0，
所以f(x0)0，
所以存在x1∈(x0,−12)，使得f(x1)=0，
所以f(x)在(−∞,0)上有2个零点，分别为−1和x1∈(x0,−12)，
即−12y23−3y2−4y2=152在(−∞,0)上有2个根．
由对称性可得，四边形ABDE的面积为152的直线l共有4条．
(1)根据题目所给信息，列出等式求解即可；
(2)(i)设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1+y2=2m，y1y2=−4，结合导数的几何意义求出点B处的切线方程，推出点D，E的坐标，根据直线的斜率再进行求证即可；
(ii)连接AE，BD，由(i)得到点D的坐标，推出四边形DBME为平行四边形，结合四边形面积公式可得y24+6y22+15y2+8=0，构造函数f(x)=x4+6x2+15x+8，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数的单调性以及零点存在性定理求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】(I)1，3，4，1；1，−3，4，1；1，−3，2，1；1，−3，−2，1；
(II)理由见解析；
(III)7．
【解析】解：(Ⅰ)因为数列A：1，3，4，1，所以Ω中的数列满足b2∈{−3,3,5}，b3∈{−2,2,4}，
因为b2