北京市房山区2023_2024学年高一数学上学期期末检测试卷含解析

这是一份北京市房山区2023_2024学年高一数学上学期期末检测试卷含解析，共15页。
第一部分（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知，，则线段中点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点的坐标，利用平面向量的坐标表示计算可得结果.
【详解】设线段中点的坐标为，取，
则；
由向量的坐标表示可得，即，
解得；
所以线段中点的坐标为.
故选：D
2. 某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（）
AB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率之和为1求解.
【详解】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件，
因为“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，
则“抽到丙级品”的概率为.
故选：A
3. 下列四个函数中，在上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】ACD可根据函数图象直接判断；C选项，配方后得到函数单调性.
【详解】A选项，在上单调递增，A错误；
B选项，，故在上单调递增，
在上单调递减，B错误；
C选项，在上单调递增，C错误；
D选项，在上单调递增，故在上单调递减，D正确.
故选：D
4. 设，，，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数性质，确定与中间量0和1的大小关系即可.
【详解】,
,
.
所以.
故选：A.
5. 甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表：
甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，，则（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、方差公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
，
，
，
所以，.
故选：C.
6. 如图，在中，点，满足，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的几何运算求解即可.
【详解】.
故选：C.
7. 在信息论中，设某随机事件发生的概率为，称为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】依题意计算出事件“恰好出现一次正面”的概率为，代入计算可得结果.
【详解】根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况，
则事件“恰好出现一次正面”的概率为，
所以“恰好出现一次正面”的自信息为.
故选：B
8. 设是向量，“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.
【详解】当时，，推不出
当时，，则
即“”是“”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.
9. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）
（精确到0.1，参考数据：）
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
10. 已知函数，，，，则下列结论正确的是（）
A. 函数和的图象有且只有一个公共点
B. ，当时，恒有
C. 当时，，
D. 当时，方程有解
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，易知两个函数都过，结合特值和图象可得函数和图像有两个公共点；对于B，由函数的增长速度可判断；对于C，当时，作图可知，有恒成立；对于D，当时，易知两个函数都过点，即方程有解；
【详解】对于A，指数函数与一次函数都过，
且，，
故还会出现一个交点，如图所示，所以函数和的图像有两个公共点，故A错误；
对于B，，均单调递增，
由对数函数的性质可得对数函数的增长速度越来越慢，逐渐趋近0，一次函数的增长速度固定，所以不存在，当时，恒有，故B错误；
对于C，当时，指数函数与对数函数互为反函数，两函数图像关于直线对称，如图所示，
由图可知，，有恒成立，故C错误；
对于D，当时，，，由知，，且两个函数都过点，即方程有解，故D正确；
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
第二部分（非选择题共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. ____________；___________.
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.
【详解】，
.
故答案为：；.
12. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则_________.
【答案】3
【解析】
分析】根据题意将向量，，坐标化，解方程即可求出，可得结果.
【详解】以的起点为坐标原点，水平向右为轴正方向，的方向为轴负方向，建立平面直角坐标系；
不妨取，，，
由可得，
即可得，
即.
故答案为：3
13. 为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠_______只.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据比例求解.
【详解】估计此森林内约有松鼠只.
故答案为：
14. 已知向量，，若，共线，且，则向量的坐标可以是__________.（写出一个即可）
【答案】或（写出一个即可）
【解析】
【分析】直接根据题目条件列方程组求解即可.
【详解】由已知得，解得或，
即向量的坐标可以是或.
故答案为：或（写出一个即可）.
15. 函数，若，则_________；若函数是上的增函数，则的取值范围是___________.
【答案】 ①. 0 ②.
【解析】
【分析】（1）利用分段函数的解析式，直接求值即可；
（2）函数在上递增，必须函数的每一段都递增，且时，.
【详解】（1）当时，，.
（2）因为函数在上递增，所以：.
故答案为：0；
16. 有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，下面有四个结论：
①，，，的中位数等于，，…，的中位数；
②，，，的平均数等于，，…，的平均数；
③，，，的标准差不大于，，…，的标准差；
④，，，的极差不大于，，…，的极差.
则所有正确结论的序号是____________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】由中位数、极差、方差的定义性质结合平均数公式逐一判断即可.
详解】由题意不妨设，
对于，，，的中位数和，，…，的中位数均为，故①正确；
取，此时，，，的平均数为1，它小于，，…，的平均数，故②错误；
对于③，，，，相比，，…，去掉了两个极端的数，应更为稳定，故③正确；
，，，的极差与，，…，的极差满足，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 设向量与不共线.
（1）若，，且与平行，求实数的值；
（2）若，，，求证：，，三点共线.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用向量平行求待定系数；
（2）证明，可得，，三点共线.
【小问1详解】
，，则，.
因为与平行，所以有.解得.
【小问2详解】
因为，，，
所以，所以.
所以与共线，
又因为有公共点，所以，，三点共线.
18. 一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事件乙正确解答.假设事件与相互独立.
（1）求恰有一人正确解答问题的概率；
（2）某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：
请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正确解答”可表示为，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）指出该同学作答的错误之处，分析可知，“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率，或利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：事件“恰有一人正确解答”可表示为，
因为、互斥，与相互独立，
所以.
小问2详解】
解：该同学错误在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.
正确的解答过程如下：
“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，
可以表示为，且、、两两互斥，与相互独立，
所以
.
或者.
19. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）函数是定义在上的偶函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数定义域求法可得的定义域为；
（2）利用定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得为偶函数；
（3）由对数函数单调性解不等式即可得不等式的解集为.
【小问1详解】
由题意可得，解得.
所以函数的定义域为.
【小问2详解】
偶函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称.
因为，
所以.
即函数是定义在上的偶函数.
【小问3详解】
由，
得，即.
因为在是增函数，所以.
解得，
因为函数的定义域为.
因此不等式的解集为.
20. 某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法从和两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率；
（3）假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数.
【答案】（1）
（2）
（3）7.92小时
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算可得;
（2）列举出从6人中随机选出2人的所有情况，再求得2人不在同一组的情况，即可求得其概率；
（3）由频率分布直方图计算平均数公式代入计算即可求得结果.
【小问1详解】
因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，
易知组距为2，所以，
解得.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知和两组的频数的比为
所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4，2，
记中的4人为，，，，中的2人为，，
从这6人中随机选出2人，则样本空间
，共15个样本点
设事件：选出的2人不在同一组，
，共8个样本点，
所以
【小问3详解】
估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为7.92小时
21. 若，对，都有成立，则称函数在上具有性质.
（1）分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围；
（2）若函数在上具有性质，求实数的取值范围.
【答案】21. 详见解析；
22. .
【解析】
【分析】（1）根据题意结合调性与最值分析判断；
（2）令，由题意可得对，都有.方法1：利用参变分类结合恒成立问题分析求解；方法2：先取特值，求得，进而根据二次函数分析求解；方法3：分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，结合恒成立问题分析求解.
【小问1详解】
因为在上是单调递增的函数，在上是单调递减的函数，
则在上是单调递增的函数，可得，
任意，当时，，
所以函数在区间上不具有性质.
因为在区间上单调递减，
由可得，则，所以，
所以，对，，
即函数在区间上具有性质，且的取值范围是.
【小问2详解】
因为函数在上具有性质，
即对，都有，
且，
令，
可得对，都有，
方法1：，都有，
设，，可得，，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递增.
则，.可得，
所以的取值范围为.
方法2：对，都有，
可得，解得，
若，函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以，即，
所以的取值范围为.
方法3：函数的对称轴为，
以对称轴与区间的关系分，，三种情况.
（i）当时，，解得；
（ⅱ）当时，，不合题意，舍去；
（ⅲ）当时，，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围为.
甲的成绩
乙的成绩
环数
6
7
8
9
10
环数
6
7
8
9
10
频数
1
2
4
2
1
频数
3
2
1
1
3
解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，
所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为.
所以.