云南省曲靖市第一中学2023−2024学年高二下学期第二次阶段性考试（6月） 数学试题（含解析）

这是一份云南省曲靖市第一中学2023−2024学年高二下学期第二次阶段性考试（6月） 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合则（ ）
A．B．C．D．
2．设函数的定义域为，则“，”是“在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．在正方体中，直线与直线所成角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数，则（ ）
A．B．C．D．
5．某班级数学课上教师随机的从学生甲、乙、丙、丁中选择一名学生回答问题，据了解，甲、乙、丙、丁答对该题的概率分别为0.8，0.6，0.4，0.2，则在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
6．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
7．若定义在上的函数满足，且在上单调递减，，则满足的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知正实数满足，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为25B．的最大值为20
C．的最小值为11D．的最小值为1
11．已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的周期为4D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数为奇函数，则的值为 .
13．已知随机变量满足且则 .
14．关于的不等式的解集是 .（用区间表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．为了解甲、乙两校学生的数学学习情况，随机调查了甲、乙两校的500个学生在某次统测中的数学成绩，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两所学校学生在该次统测中的数学及格率；
(2)补全上述列联表，并分析根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两校的学生数学是否及格与学生所属学校有关？
附：.
16．已知为二次函数，，且，.
(1)求的解析式；
(2)若数列满足，且，判断数列是否为等比数列？若是，请求出的通项公式；若不是，请说明理由.
17．如图，在斜三棱柱中，侧面侧面，，为线段上的动点.
(1)当M为的中点时，证明：；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
18．设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：
（ⅰ）为定值；
（ⅱ）直线恒过定点.
19．对于函数的导函数，若在定义域内存在实数使得成立，则称是“跳点”函数，并称是函数的“跳点”.
(1)若是“跳点”函数，求实数的取值范围；
(2)函数是“跳点”函数，求实数的取值范围；
(3)函数是“1跳点”函数，且在定义域内有且仅有两个不同的“1跳点”，求的值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据交集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知，.
故选C.
2．【答案】B
【分析】直接根据单调性的定义说明必要性，然后构造反例说明条件不是充分的，即可得到答案.
【详解】一方面，若在上为增函数，则根据增函数的定义，知对任意实数都有，所以必要性成立；
另一方面，对于定义在上的函数：
由于对任意实数，和或者都是整数，或者都不是整数.
故且，或者且.
无论怎样，都一定有.
但是，，故由，
则不是上的增函数，所以充分性不成立.
故选B.
3．【答案】D
【分析】使用线面垂直的性质和判定定理证明，从而得到两直线的夹角为.
【详解】
由于是正方体，故垂直于平面，而在内，故.
由于四边形是正方形，故，而，且和在平面内交于点，故垂直于平面.
由于垂直于平面，且在平面内，故，所以直线与直线所成角为.
故选D.
4．【答案】C
【分析】根据指数、对数函数单调性结合中间值1比较的大小关系，再结合幂函数单调性比较的大小关系.
【详解】因为在定义域内单调递减，则，即；
又因为在定义域内单调递增，则，即；
整理可得，且在内单调递增，
则，即；
综上所述：.
故选C.
5．【答案】B
【分析】由条件概率公式可得此题答错的情况下，由乙回答此题的概率.
【详解】从学生甲、乙、丙、丁中选择一名学生回答问题，每人被选到的概率都为，
甲、乙、丙、丁答对该题的概率分别为0.8，0.6，0.4，0.2，则答错的概率分别为0.2，0.4，0.6，0.8，
设事件A：此题答错，事件B：由乙回答此题，
所以，
故选B.
6．【答案】B
【详解】先将丙和丁捆在一起有种排列方式(提示：对于元素相邻的排列问题选用“捆绑法”)，然后将其与乙、戊排列有种排列方式，最后将甲插入中间两空中的一个，有C21种排列方式，则由分步乘法计数原理得不同的排列方式共有＝24(种)，故选B.
7．【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到为奇函数，根据奇函数的性质及条件得到的单调性与取值情况，再将分三种情况讨论，分别计算可得.
【详解】因为定义在上的函数满足，即，
所以为奇函数，函数图象关于对称，且，
又在上单调递减且，所以在上单调递减且，
所以当或时，当或时，
又，等价于或或，
解得或或，
即满足的取值范围是.
故选A.
8．【答案】B
【分析】由奇偶函数的定义可得，，合理巧妙赋值即可求解.
【详解】由为奇函数，得①，
由为偶函数，得②，
由①，令，得，解得；
由①②，令，得，；
由①②，令，得，所以；
故选B.
9．【答案】ABC
【分析】利用赋值法计算即可判断AC；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断BD.
【详解】设，二项式展开式的通项公式为，
A：，故A正确；
B：令，得，故B正确；
C：，
所以，故C正确；
D：令，得；令，得；
令，得；令，得；
令，得，
所以，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】AC
【分析】由基本不等式得，，解不等式判断选项AB；由，代入CD选项结合基本不等式判断.
【详解】正实数满足，
则有，即，解得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为25，A选项正确；
，即，
解得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为20，B选项错误；
由，得，为正实数，则，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为11，C选项正确；
由，得，，
，
当且仅当，即时等号成立，的最小值为，D选项错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【分析】令即可判断A；令即可判断B；令和令即可判断C；根据周期的应用即可判断D.
【详解】A：令，则，故A正确；
B：令，则，
（舍）或，为奇函数，故B错误；
C：令，则，即或，
令得：，，
（舍），则，
则，周期为4，故C正确；
D：，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的性质求出并验证即得.
【详解】函数中，，方程的根为，
由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为，
，即函数为奇函数，
所以的值为.
故答案为：
13．【答案】
【分析】根据二项分布的均值公式和正态分布的概念，结合题意可得，即可求解.
【详解】由，得，
由，得，
又，所以，解得.
故答案为：
14．【答案】
【分析】由不等式，可得或，再根据指数函数、对数函数单调性求解即可.
【详解】由不等式，
可得或，
则或，
故不等式的解集为：或.
故答案为：.
15．【答案】(1)甲：；乙：；
(2)表格见解析，不能认为数学成绩与所属学校有关.
【分析】(1)根据题中数据直接运算即可；
(2)完善列联表，求，并与临界值对比分析即可.
【详解】(1)由题意知：估计甲校数学及格率为：；
估计乙校数学及格率为：.
(2)填表如下：
零假设：甲、乙两校学生数学是否及格与学生所属学校无关，
可得，
根据小概率值的独立性检验，零假设成立，
所以不能认为甲、乙两校的学生数学是否及格与学生所属学校有关.
16．【答案】(1)；
(2)是等比数列，.
【分析】(1)设，由求出，再表示出，即可得到方程组，解得，的值，即可得解；
(2)由(1)可得，从而得到，两边取对数，结合等比数列的定义证明即可，再结合等比数列通项公式计算可得.
【详解】(1)设，
，，
又，
，解得，
.
(2)数列为等比数列，理由如下：
，
， ，
，
，又，则，，
构成首项为，公比为的等比数列，
.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)作出辅助线，得到，，由面面垂直得到线面垂直，得到，从而证明出⊥平面，，得到平面，证明出结论；
(2)作出辅助线，证明出两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，从而得到方程，求出，得到答案.
【详解】(1)连接，
，
四边形均为含的菱形，为等边三角形，
，
当M为的中点时，有；
又侧面侧面，侧面侧面，侧面，
平面，
平面，从而；
又，平面，
平面，
平面，.
(2) 为等边三角形，取的中点，则⊥，
又，故⊥，
取的中点，连接，
由(1)知平面，又平面，故，
两两互相垂直，
以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则；
设，
则，
设平面的法向量为，
由，得，
令.
设与平面所成角为，
所以，解得或，
，，
.
18．【答案】(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】(1)由抛物线得定义求解抛物线的方程即可.
(2)（ⅰ）利用韦达定理求解出，
（ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点.
【详解】(1)由焦半径公式知：，，
的方程为：.
(2)由(1)知：，
可设直线方程为：，设则
直线方程为：
联立
，将代入得，
，同理：
（ⅰ），
（ⅱ）直线的方程为：
由得：即，
，
直线的方程为：，
直线恒过定点.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】(1)根据“跳点函数”的定义得到，即，即可得到的范围.
(2)根据“跳点函数”的定义得到，即，即可得到的范围.
(3)根据“跳点函数”的定义得到，即，转化为函数有两个零点，求导出单调性，即可求解.
【详解】(1) 由题意知：，
，即
(2) 由题意知：，
，即
，
.
(3) 由题意知：，
，
，
令转化为有两个零点，
，
或；；
在单调递增，在单调递减；
由三次函数性质知：若有两个零点，则或，
解得：或.
学校
人数
合计
及格人数
不及格人数
甲
240
20
乙
210
30
合计
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
5.635
学校
人数
合计
及格人数
不及格人数
甲
240
20
260
乙
210
30
240
合计
450
50
500