河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

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这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（）
A．B．C．D．
2．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（）
A．1B．C．D．
3．曲线在处的切线方程为（）
A．B．
C．D．
4．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
5．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（）
A．B．C．D．
6．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（）
A．或1B．2或C．D．1
7．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（）
A．B．C．D．
10．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是曲线的对称中心
D．
11．对于函数，下列说法正确的是（）
A．在处取得极大值B．有两个不同的零点
C．D．若在上恒成立，则
三、填空题
12．已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
13．若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为．
14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若函数的单调递增区间为，求实数的值.
16．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且函数的极大值和极小值之和为18，求在区间上的最大值.
17．已知函数，.
(1)证明：方程有唯一解；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
18．已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)，若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程．
19．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（i）证明：是上的“好函数”．
（ii）设，证明：．
参考答案
12．
13．
14．
15．（1）由题意，函数的定义域为，
当时，，则，由得，
由得；由得.
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
所以函数的最小值为.
（2）由题意，，
①当时，在上恒成立，在上单调递增，不合题意；
②当时，由即得，
的单调递增区间为，由已知得，所以.
16．（1）由题意得,
当时，此时恒成立，故在上单调递增，
当时，令，解得或，
令，得，
故在和单调递增，在单调递减，
综上可得时，的单调递增区间为，
当时，的递增区间为，，递减区间为
（2）由（1）知，时，函数才有极值，
，
，
因此，解得，
因此，
，，
，
因此.
17．（1）由得，
因为，所以，所以在上单调递减，
又，所以函数只有一个零点，
即方程有唯一解，且为1；
（2），
则恒成立等价于恒成立，所以在上恒成立，
记，则，，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，故得，
即实数的取值范围为；
（3）若有两个零点，等价于有两个解，
也等价于直线与函数有两个交点.
则，记，，
由反比例函数和对数函数的单调性易知在上单调递减，又，
所以当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增，
当时，，当时，，则，
作出函数的图象如下：
由图可知：直线与函数有两个交点等价于，
故实数的取值范围为.
18．（1）因为，所以，
所以，
所以所求切线方程为；
（2）因为，所以，
设过原点的切线切于点，
则切线方程为：，又其过原点，
所以，所以，
所以切线l的方程为，即为．
19．（1）由题可知任意，
且，，即，解得，
因为，所以解得，即的取值范围为．
（2）（i）设，
则．
令，且，
则，则在上单调递增，
得到，即，
故是上的“好函数”.
（ii）由（i）可知，当时，，
令，则，
即，
故，
化简可得．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
B
B
C
A
A
BD
AD
题号
11

答案
ACD