2025年甘肃省酒泉市中考第三次适应性检测数学试卷（附答案解析）

这是一份2025年甘肃省酒泉市中考第三次适应性检测数学试卷（附答案解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=3，c=2，d=4B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6D．a=2，b=4，c=6，d=8
3．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的弦，，交于点是上一点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到万辆．若设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（ ）
A．抽样数据的样本容量是60
B．E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为
C．抽样数据的中位数落在B组
D．m的值为15
9．如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若，则折痕AE的长为（ ）
A．B．C．2D．
10．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，，则 ．
12．定义新运算：，则的运算结果是 ．
13．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为 ．
14．如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点．若的面积为3，则的面积为 ．
15．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为 ．
16．如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．问题情境：在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
(1)在上述解方程过程中，从第 步开始错误；
(2)写出正确的解答过程．
20．欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；
②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；
③连接，则，是的切线．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹．
(2)上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是 ．
21．甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜．
(1)用画树状图法列出所有可能的结果．
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
22．项目化学习
【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考．
【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究：
【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量
【设计实践任务】
23．某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：评委给甲同学打分的条形统计图：
信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图：
信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： 分， 分；
(2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学．
24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点．

(1)求k，m，n的值；
(2)点P在x轴上，，轴，交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积．
25．如图，内接于是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求圆O的半径．
26．【感知特例】
（1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：；
【建构模型】
（2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由；
【解决问题】
（3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值．
3.24
3.25
3.26
0.01
0.03
组别
参赛者成绩
频数
A
4
B
m
C
12
D
12
E
7
太阳能路灯电池板离地面高度的测量
素材1
光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎．
某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度．
素材2
如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上．
问题解决
任务
太阳能路灯电池板离地面高度的测量
求电池板离地面的高度的长．
（结果精确到米；参考数据：，）
同学
面试成绩
评委打分的中位数
评委打分的众数
甲
78
8
n
乙
86
9
10
丙
87
m
8
《2025年甘肃省酒泉市中考第三次适应性检测数学试卷》参考答案
1．A
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．
【详解】解：A．是无理数，故符合题意；
B．是分数，属于有理数，故不符合题意；
C．是整数，属于有理数，故不符合题意；
D．是小数，属于有理数，故不符合题意．
故选：A．
2．C
【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例，
∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例，
∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例，
∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例，
故选C．
3．A
【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．
【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，

故选A．
4．B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围．
【详解】解：时，；
时，，
∴当时，的值可以等于0，
∴方程的一个解的范围是．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，结合角的和差关系得到，即可．
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选C．
6．B
【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
由得到，根据题意得到，继而得到，最后利用等边对等角即可解决问题．
【详解】解：，
，
是的弦，，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），即可得出关于的一元二次方程，即可得解．
【详解】解：设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，
根据题意，可列方程为：；
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，从图表中获取信息是关键；根据图表中C的百分比及频数，可求得抽取的总人数，从而可判定A；由E的频数及样本数，求得其百分比，即可求得扇形统计图的圆心角，从而可判定B；根据中位数的意义可判定C；利用运用总数分别减去其他组的频数，即可判定D，最后获利问题的答案．
【详解】解：抽取的总人数为：，
即样本容量为50，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
∵样本容量为50，
∴排在中间位置的数为第位，
则，
故中位数落在C组，
故选项C不符合题意；
依题意，，故选项D符合题意；
故选：D．
9．C
【分析】先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算．
【详解】解：延长EB′与AD交于点F，
∵∠AB′E=∠B=90°，MN是对折折痕，
∴EB′=FB′，∠AB′E=∠AB′F，
在△AEB′和△AFB′中，，
∴△AEB′≌△AFB′，
∴AE=AF，
∴∠B′AE=∠B′AD，
∵∠BAE=∠B′AE=∠B′AD；
∴∠EAB=30°，
∴EB=EA，
设EB=x，AE=2x，
∴（2x）2=x2+AB2，x=1，
∴AE=2，
则折痕AE=2，
故选C．
【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
10．D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解．
【详解】解：根据图象②，可设，且，
当时，，
此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上；
当时，，
此时的函数图象为直线的一段；
当时，，
此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下；
∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是
．
故选：D．
11．6
【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先因式分解为，再整体代入即可求解．
【详解】解：，
将，代入，得：
原式，
故答案为：6．
12．
【分析】本题考查整式的运算，根据新定义，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
13．10
【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长公式即可解答．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
，
的周长，
，，
的周长．
故答案为：10．
14．12
【分析】根据， ，即可判定，根据，得，即可求得的面积．本题考查了相似三角形的判定与性质．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴， ，
，
∴
，
∵
∴
∴，
∴
又的面积为3 ，
∴的面积为，
故答案为：12
15．8
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答．
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3m时，，
把代入得：，解得：，
此时水面宽米．
故答案为：8．
16．
【分析】连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和求得，进而求得，最后根据即可得解．
【详解】解：连接、，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
17．
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
18．，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
．
19．(1)第一步
(2)方程无解，见解析
【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可．
（1）根据去分母的步骤进行解答即可；
（2）按照正确的步骤去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可得到答案．
【详解】（1）解：观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了．
故答案为：一；
（2）
方程两边都乘，得．
解这个方程，得．
经检验，为增根，原分式方程无解．
20．(1)见解析
(2)直径所对的圆周角等于
【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂直平分线等基本作图等知识，熟练掌握切线的判定是关键．
（1）按照步骤作图即可；
（2）根据（1）的证明过程写出答案即可．
【详解】（1）解：如图所示，
由作图可知，，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是的半径
∴，是的切线．
（2）由（1）可知，作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是直径所对的圆周角等于．
21．(1)见解析
(2)这个游戏公平，理由见解析
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率．
（1）画树状图即可展示所有16种等可能的结果数；
（2）根据树状图得到结果为奇数或偶数的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：画树状图：
∴16种等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，；
（2）解：这个游戏公平，理由：
由图知共有16种等可能结果，其中为奇数的可能有8种，为偶数也有8种可能，
故结果为奇数或偶数的概率都是，
甲乙获胜的概率相同，故这个游戏公平．
22．电池板离地面的高度约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
延长交于点，根据题意可得：米，米，设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点，
由题意得：米，米，
设米，则米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
（米），
电池板离地面的高度约为米．
23．(1)8.5，8
(2)丙
(3)乙
【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据中位数和众数的定义可得答案；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）根据加权平均数公式计算即可．
【详解】（1）解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数，
由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数；
故答案为：8.5，8；
（2）由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致；
故答案为：丙；
（3）甲的综合成绩为：（分），
乙的综合成绩为：（分），
丙的综合成绩为：（分），
，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
24．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过作轴于点，首先得到，求出，利用三线合一得到，然后求出，然后理由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，将代入得，
解得
∴一次函数
将代入得，；
∴
∴将代入得，
∴；
（2）解：如图所示，过作轴于点，

∵
∴
∵，
∴
将代入
∴
∴
．
25．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明；
（2）根据圆周角定理得出，证明，得出，证明，即可得，求出，，，，即可求解．
该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】（1）解：连接，
，
弧弧，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
则，
26．（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3），
【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案；
（2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案；
（3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出的最大值，即可得到的最小值．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
，
，
∴，
，
即；
（2）解：成立，理由如下：
∵，
又，
∴，
∴，
，
即．
（3）解：∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵长为，则，
∴，
解得：
，
∵，
∴当时，有最大值，
∵，为定值，
∴当有最大值时，有最小值是．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先得出，结合抛物线对称轴为直线，且，得，再运用待定系数法进行求出二次函数的解析式，即可作答．
（2）先求出直线的解析式为，设（），则，所以，运用二次函数的图象性质，即可作答．
（3）由（2）得最大时，证明四边形是矩形，得，故得出四边形是平行四边形，所以，，当共线时，取最小值，即取最小值，结合点为线段的中点，得，运用勾股定理算出，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线，与y轴交于点C，
∴令，则，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，且
∴
，
将和代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图
由（1）得，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设（），
则，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∴．
此时，
（3）解：由（2）得最大时，
∵过点P作轴，垂足为E，
∴，
∵
则，
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴，，
连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，且，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的综合，二次函数的图象性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
C
B
A
D
C
D