广东省深圳坪山高级中学2024-2025学年高二下学期期中 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．如果随机变量，则约等于（ ）
（注：）
A．0.210B．0.0228
C．0.0456D．0.0215
3．设随机变量，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．满足的正整数等于（ ）
A．1，5B．3，C．1，3D．5，
5．函数，则等于( )
A．1B．2C．3D．－4
6．等于（ ）
A．990B．165C．120D．55
7．某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48B．0.52C．0.56D．0.65
8．定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，则＝
13．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有 种
14．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.
17．已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21，
（1）求的值；
（2）求展开式中项系数最大的项.
18．设函数．
（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；
（2）当时，求证：．
19．已知函数.
（1）证明：函数在定义域内存在唯一零点；
（2）设，试比较与的大小，并说明理由：
（3）若数列的通项，求证.
参考答案
1．【答案】D
【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，
可得：，,
则所求事件的概率为：,
故选D.
2．【答案】B
【详解】由题得.
故选B
3．【答案】B
【详解】由二项分布的期望和方差公式求出，即可求解.
【详解】随机变量服从二项分布，，
解之得，所以．
故选B.
4．【答案】C
【详解】若，则或，
解得，或，，经检验，不符合组合数运算性质
所以等于1或3.
故选C.
5．【答案】D
【详解】，
，
，，
，，
故选D.
6．【答案】B
【详解】因为，
所以
．
故选B
7．【答案】B
【详解】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，
依题意，，，，，
由全概率公式得，.
故选B
8．【答案】C
【详解】令，则，
所以在定义域上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，即不等式的解集为.
故选C
9．【答案】BCD
【详解】A：，错误；B：，正确；C：，正确；D：，正确.
故选BCD
10．【答案】ACD
【详解】因为展开式的第项为，
又，
所以，，则，故A正确；
令，则，
令，则；
令，则，
故，即B错；
，即C正确；
，即D正确；
故选ACD.
11．【答案】AC
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选AC
12．【答案】36
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以，所以.
13．【答案】36
【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.故一共有：36种分配方法.
14．【答案】
【详解】方法一：隐零点
实数，对任意的，不等式恒成立，，
设，，则，令，得，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，得到与有且只有一个交点，
如图，设交点为，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，
在处取得极小值，且为最小值，此时，
由最小值，解得，，
所以当时，不等式恒成立，故的取值范围为．
方法二：同构
对任意，由，可得，当时，不等式恒成立，
当时，设，
则，故在上单调递增，则，即，
设，，则，
所以时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，
所以在处取得最大值，故．
15．【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为
【详解】（1）由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故在点处的切线方程为：
（2）令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
显然，在区间上的最大值为，最小值为.
故在区间上的最大值为，最小值为.
16．【答案】（1）；
（2），；
（3）佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
【详解】（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，即，解得；
（2）由二项展开得到项系数为，
则设，化简为，解得，故，
因此项系数最大的为第三项，为.
18．【答案】（1）1；在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意得，
由是的极值点，得，所以.
于是，定义域为.
易知函数在上单调递增，又，
因此当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即得是的极小值点，符合题意，
故，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当，时，，则，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，故在上有唯一实根，且.
当时，；
当时，，从而当时，取得最小值.
由得，则
故.
19．【答案】（1）证明见解析
（2），理由见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）函数，定义域为
求导得，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在定义域内存在唯一零点.
（2），理由如下：
要证，只需证，
即证，即证.
令，则，从而即证.
设，由（1）知以函数在区间上单调递增.
所以，即成立.
故有.
（3）由（2）知，若，总有成立.
不妨令，则有.
由于，所以，
所以，
所以，
即有成立.