广东省五校（东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学）2024-2025学年高一下学期5月联考 数学试题

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数学 2025.5
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在复平面内，复数z₁,z₂对应的向量分别是 OA,OB,则复数z₁·z₂对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 a=2−1,b=x2, 若 (2a→−b→)//a→, 则实数x的值为
A. - 12 B. - 4
C. 4 D. 12
3.已知m，n为空间中不重合的直线，α，β，γ为空间中三个不重合的平面，下列命题正确的是
A.若m∥n, n⊂α, 则m∥α B.若m∥α, m∥β, 则α∥β
C.若α∥β, m⊂α, n⊂β, 则m∥n D.若α∥β, β∥γ, 则α∥γ
4.在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，它们的始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称.若 α∈π6π3,则sinβ的最小值为
A.−32 B.−12 C. 12 D.32
5.已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为 25,则此正四棱台的体积为
A.282
B.5653
C.28193
D.285
6.如上图所示，某同学为了测量某塔高度，在塔对面笔直的临江大道上的三点A，B，C处测得其顶点 P的仰角分别为30°, 45°, 60°(即点A, B, C为水平地面上共线的三点), 且AB =BC=500米, 则该塔的高度OP=( )米
A.13015 B.15015 C.2506 D.2805
7.在△ABC中, AB=3, AC=4, ∠BAC=120°, DC=2BD , 则AD⋅BC 的值为
A.−83 B.−43 C. 43 D. 83
8.如图，圆锥PO的底面直径为2，高为4，过线段PO上的一点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为
A. 2π B.8π3 C.5π2 D. 4π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是
A. 若sinA>sinB, 则a>b
B. 若 sin A= sin B , 则△ABC为等腰三角形
C. 若a:b:c=4:5:6, 则△ABC是钝角三角形
D. 若A=30°,a=3,b=4, 则△ABC有且仅有一个解
10.已知复数z的虚部大于0，且满足 z⋅z=1,z+z+∣z∣=0,则
A.z+z+1=0 B.∣zz∣=1 C.z2+z−1=0 D.z3−1=0
11.在正方体 ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，O为AC₁中点，以O为球心的球的半径为r，则下列说法正确的是
A.当 r=6时，球O的球面与该正方体的面没有公共点
B.当 r=22时，球O的球面与该正方体的棱有12个公共点
C.当r=3时，球O的球面与该正方体的棱共有24个公共点
D.当 r=2213时，该正方体的表面被球O截得的所有弧长之和为 163π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数 z=a+i1+ia∈R为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a= ____.
13.已知锐角α，β满足 α+β=π3,则式子2sinα+sinβ的取值范围为 _______.
14.某同学痴迷数学，于梦中梦到一神奇多面体，其可由两个正交的全等正四面体组合而成(每一个四面体的
各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点).如图，若正四面体棱长为2 则该组合体的表面积为 ；
该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15.(满分13分)
已知向量 a=csαsinα,b=csβsinβ,且满足 ∣a+b∣=3510.
(I) 求 a⋅b的值；
(Ⅱ) 若tanα·tanβ=3, 求 csα+β的值.
16.(满分15分)
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1的体积为4，D是AB的中点.
(I) 求证: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)若 △A1CD的面积为 22,，求点A到平面 A1CD的距离.
17.(满分15分)
记 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c, ab=1+2absin2C2,3a−bcsC=ccsB.
(I) 求 △ABC的面积；
(Ⅱ)若 sinA⋅sinB=16, 求 a+bc的值.
18.(满分17分)
在长方体 ABCD−A1B1C1D1中， AB=2,AD=1,AA1=1,E,F,G,H分别为BC,CD,DD₁,D₁A₁的中点.
(1) 求证: G∈平面EFH;
(Ⅱ)点M 在矩形 A1B1C1D1内(不含边界)运动，若M∈平面EFH ，求M 运动轨迹的长度；
(Ⅲ) 点O在矩形ABCD内(不含边界) 运动, 若直线A₁O∥平面EFH, 求 A1O+OC的最小值.
19.(满分17分)
设n次多项式 Pnx=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0an≠0,若其满足 Pncsθ=csnθ,则称这些多项式 Pn(x)为切比雪夫多项式.例如：由 cs1×θ=csθ可得切比雪夫多项式. P1x=x;由 cs2θ=2cs2θ−1可得切比雪夫多项式 P2x=2x2−1.
(I)求切比雪夫多项式 P3x;
(Ⅱ)请利用 P3x求 sin18∘的值.
(III) 若 fx=4x3−3x−12在 −11内有三个不同的零点 x1,x2,x3,求 x13+x23+x33的值