【数学】广东省东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考试题

广东省东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考数学试题

注意：本卷满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设函数，则（    ）

A．5             B．           

C．2              D．

2. 展开式中的系数为（    ）

A.56            B.-56            C. 64       D. -64

3.一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度=1米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

4.各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为（  ）

A.            B.           C.            D.

5.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（    ）

A.        B.         C.        D.

6.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（    ）

A. 戏剧放在中间的不同放法有种           

B. 诗集相邻的不同放法有种

C. 四大名著互不相邻的不同放法有种    

D. 四大名著不放在两端的不同放法有种

7.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

8. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点（点、在点的两侧），且，则的离心率为（    ）

A.             B.            C.            D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A.                            B.

C.                 D.

10.已知空间向量，则下列结论正确的是（  ）

A．                B．

C．               D．在上的投影向量的长度为

11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，，则下列结论正确的为　　

A．任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为0.01 

B．任取一个零件是次品的概率为0.058 

C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 

D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为

12.设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为　　

A．的图象与轴相切 

B．存在实数，使得的图象与轴相切 

C．若，则方程有唯一实数解 

D．若有两个零点，则的取值范围为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在等比数列中，，则           .

14. 某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，则不同的派遣方案共有           （用数字作答）.

15. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为          .    

16. 若对任意的，且当时，都有，则的最小值是                   .

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于的等比数列，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前20项和．

18. 已知函数.

（1）若，求的极值；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

19.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

20.第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.

（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？

（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.

21.如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

22.已知函数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.

【参考答案】

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 8         14. 30        15.         16. 2

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：（1）由题意，∴，…………………………2分

又因为，…………………………3分

 所以解得或（舍），…………………………4分

所以.…………………………5分

（2）由题………………………………7分

所以……………………8分

…………………………9分

=………………………………10分（写到这个结果也给10分）

         ………………………………10分

18.解：（1）当时，

所以，………………………………1分

令，解得或，………………………………2分

当x变化时，，变化情况如下：

………………………………4分

故的极小值为. 

的极大值为.………………………………6分

（2）法一：………………………………7分

令，解得，………………………………8分

 当或时，，单调递增………………………………9分

当时，，单调递减………………………………10分

要使函数在区间上单调递增，需……………11分

解得：，所以的取值范围为.………………………………12分

法二：，………………………………7分

由题知：在区间上恒成立，即恒成立…………………8分

只需大于或等于的最大值或上界.…………………………9分

，………………………………10分

因为，所以，，………………………………11分

，即，所以的取值范围为.………………………………12分

19.解：（1）证明：方法（一）

因为平面，平面，

所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：

，……………1分

，………………………………2分

因为，………………………3分

所以，即，………………………………4分

方法（二）

连结与相交于点,因为四边形是正方形，

所以…………1分

因为，

所以………………2分

因为，所以,………………3分

因为

所以，因为,所以.……………………4分

(2)解：设平面的法向量为，，…………5分

所以有，………………………………7分

因为直线与平面所成角为，

所以，……………9分

解得，即，因为，………………………………10分

所以点到平面的距离为：

.……………………12分

20.解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为；………………………1分

乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；………………………………2分

丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：

.………………………………3分

因为，所以，………………………………4分

所以，，即甲进入决赛的可能性最大.………………………………5分

最后一步，只写甲进入决赛的可能性最大. 不扣分。

（2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，

则，………………………………6分

整理得，解得或，

由，所以，………………………………7分

所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为、，

两轮中均获胜的概率为：………………………………8分

进入决赛的人数的可能取值为：0、1、2、3，

所以；

；………………………………9分

；

；………………………………10分

所以，的分布列为

………………………………11分

所以，.………………………………12分

求分布列没有过程，只有表格，扣2分。

21.解：（1）法一：，

,………………………………1分

，,     解得：,………………………………2分

∴椭圆方程为：………………………………3分

法二：设，代入椭圆方程，由，可解得，

  ………………………………1分

又  解得：，………………………………2分

椭圆方程为：.………………………………3分

(2)设动直线的方程为：，

由，得………………………………4分

设，

………………………………5分

则，………………………………6分

则，

由题知：，可得，………………………………7分

所以，………………………………8分

∴，

∴，………………………………10分

由题意知上式对成立，

且，解得.………………………………11分

存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为.………12分

22.解：（1）函数的定义域为，………………………………1分

.………………………………2分

………………………………3分

令可得或，，则.………………………………4分

由，可得或.

则的单调递增区间为和；………………………………5分

（2）假设函数存在“中值相依切线”，，……………6分

，………………………………8分

由题设条件，有，

即，即，………………………9分

不妨设，设，可得，

构造函数，其中，………………………………10分

则，

所以，函数在区间上为增函数，则，……………………11分

即方程在上无解，

因此，函数不存在“中值相依切线”；………………………………12分